1.4 Частота события. Статистическое определение вероятности

Частота события. Статистическое определение вероятности

теория вероятностей

содержание учебника

Классическое определение вероятности предполагает, что все эле­ментарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опы­та заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим. Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события, или частотой, называется от­ношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события A через W(A), тогда по определению

W(A)=\displaystyle\frac{m}{n}     (1.4.1)
где m - число опытов, в которых появилось событие A и n - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

  1. Частота случайного события есть число, заключенное между ну­лем и единицей:
    0< W(A)<1.    (1.4.2)
  2. Частота достоверного события U равна единице:
    W(U)=1    (1.4.3)
  3. Частота невозможного события V равна нулю:
    W(V)=0    (1.4.4)
  4. Частота суммы двух несовместных событий A и B равна сумме частот этих событий:
    W(A+B)=W(A)+W(B)    (1.4.5)

Наблюдения позволили установить, что относительная частота об­ладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного со­бытия.

Вероятностью события называется число, около которого группи­руются значения,частоты данного события в различных сериях большо­го числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

В случае статистического определения вероятность обладает сле­дующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна еди­нице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий.

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракован­ных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае m = 8, n = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим

W=\displaystyle\frac{8}{500}=0,016

Пример 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Решение. Из условия задачи следует, что n = 60, m = 10, поэтому

W=\displaystyle\frac{10}{60}=\frac{1}{6}

Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае n=1000, m=515, то W=\displaystyle\frac{515}{1000}=0,515.

Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Так как n = 20, m = 15, то

W=\displaystyle\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75

Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий W = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что m=W\cdot n. Так как W = 0,75, n = 40, то m=0,75\cdot40=30 . Таким образом, было получено 30 попаданий.

Пример 6. www.itmathrepetitor.ru Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высе­янных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что n=\displaystyle\frac{m}{W}. Поскольку m = 970, W=0,97, то n=970/0,97=1000. Итак, было высеяно 1000 семян.

Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как n = 20, m = 8, то искомая частота

W=\displaystyle\frac{8}{20}=0,4.

Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) n_1 = 4040, m_1 =2048, 2) n_2 = 12000, m_2 = 6019; 3) n_3 = 24000, m_3 = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.

Решение. В соответствии с формулой (1.4.1) находим:

W_1=\displaystyle\frac{m_1}{n_1}=\frac{2048}{4040}=0,5069

W_2=\displaystyle\frac{m_2}{n_2}=\frac{6019}{1200}\approx0,5016

W_3=\displaystyle\frac{m_3}{n_3}=\frac{12012}{24000}\approx0,5005                                                                 .

Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократ­ных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.

Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появле­ния нестандартных деталей.

Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому

W=\displaystyle\frac{15}{300}=0,05

Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Най­ти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.

Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 - 20 = 380. Поскольку n = 400, m_1 = 380, то частота изделий перво­го сорта

W_1=\displaystyle\frac{380}{400}=0,95

Аналогично находим частоту изделий второго сорта:

W_2=\displaystyle\frac{20}{400}=0,05

Задачи

  1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изде­лий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракован­ных изделий.
  2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
  3. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
  4. Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях сим­метричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
  5. Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях иг­рального кубика.
  6. Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
  7. Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.

Ответы

  1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Вопросы

  1. Что такое частота события?
  2. Чему равна частота достоверного события?
  3. Чему равна частота невозможного события?
  4. В каких пределах заключена частота случайного события?
  5. Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
  6. Какое определение вероятности называют статистическим?
  7. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

содержание учебника

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *