Сто задач по программированию

Задачи 31 - 45

Перед решением задач полезно познакомиться со справочными данными

31. Напишите программу, которая генерируется множество первых $n$ случайных чисел с помощью решета Эратосфена.
32. Два нечетных простых числа, отличающиеся на 2, называются близнецами. Например, числа 5 и 7. Напишите программу, которая будет находить все числа-близнецы на отрезке [2; 1000].
33. Однажды математик С. Улам  разделил лист бумаги на клетки  и, написав в центре 1, начал писать по спирали против часовой стрелки все натуральные числа подряд, выделяя простые числа. Скоро простые числа выстроились в довольно-таки закономерном порядке, образуя интересный узор. Этот узор позже стал объектом исследования и получил название скатерть Улама.
    Составьте программу, демонстрирующую скатерть Улама размером 100 х 100 клеток (вместо простых чисел выводите звездочку "*").
34. Совершенным числом называется число, равное сумме своих делителей, меньших его самого. Например, $28 = 1+2+4+7+14$. Определите, является ли данное натуральное число совершенным. Найдите все совершенные числа на данном отрезке (возможно, стоит применить идею решета Эратосфена).
35. Дружественными числами называются два натуральных числа, таких, что каждое из них равно сумме всех делителей другого числа, меньших этого  другого числа. Например, 220 и 284. Найдите на данном отрезке все дружественные числа. Напишите программу, находящую на данном отрезке число с наибольшим количеством делителей.
36. Найдите количество и сумму цифр в данном натуральном числе. Дано натуральное число. Поменяйте в нем порядок цифр на обратный. Числа, одинаково читающиеся слева направо и справа налево, называются палиндромами. Например, 1223221. Напишите программу нахождения всех палиндромов на данном отрезке. Числа, запись которых состоит из двух одинаковых последовательностей цифр, называются симметричными. Например, 357357 или 17421742. Определите, является ли данное натуральное число симметричным. Если сложить все цифры какого-либо натурального числа, затем — все цифры найденной суммы и так далее, то в результате получим однозначное число (цифру), которое называется цифровым корнем данного числа. Например, цифровой корень числа 561 равен 3 (5 + 6+1 — 12, 1+2 = 3). Найдите числовой корень данного натурального числа.
37. Автоморфным называется натуральное число, которое равно числу, которое образуют последние цифры его квадрата. Например, $5$, так как $5^2=25$, или $25$, так как $25^2=625$. Найдите все автоморфные числа на данном отрезке. Решите аналогичную задачу для третьей степени числа.
38. В книге $n$ страниц. Найдите количество цифр, необходимое для нумерации всех страниц такой книге. Решите обратную задачу: зная количество понадобившихся для нумерации цифр, определить количество страниц в книге.
39. Номера троллейбусных билетов представляют собой шестизначные числа. Счастливым считается тот билет, у которого сумма первых цифр равна сумме трех последних цифр. Например, билет 627 294 считается счастливым, так как 6 + 2 + 7 = 2 + 9 + 4=15. Найдите все номера счастливых билетов, такие, что из них можно извлечь натуральный корень какой-либо (превышающей 1) степени. Например, $\sqrt{720 801}=849$. Составьте программу для нахождения всех, номеров счастливых билетов, у которых сумма первых (последних) трех цифр, будучи возведенной в какую-либо степень, равна номеру счастливого билета.
40. Существуют натуральные числа, равные сумме кубов своих цифр. Таково, например, число 370, ибо $3^3 + 7^3+ 0^3 = 370$. Найдите все такие чисел. Составьте программу, которая будет находить все натуральные числа, равные кубу суммы своих Цифр.
41. Число, состоящее из $n$ ($n>1$) цифр, называется числом Армстронга, если сумма его цифр, возведенных в $n$-ю степень, равна самому этому числу. Например, числами Армстронга являются 153 и 1634, так как $153=1^3 + 5^3 + 3^3$ и $1634=1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4$.
    Составим программу, которая будет находить все $n$-значные числа Армстронга ($n$< 10).
42. Найдите все $n$-значные ($2<n<9$) числа, которые состоят из разных цифр и являются полными квадратами. Создайте программу, которая будет вычислять, сколько различных букв содержится в заданном слове.
43. Б. Кордемский указывает одно интересное число 145, которое равно сумме факториалов своих цифр: $145=1!+4!+5!$. Он пишет, что неизвестно, есть ли еще такие числа, удовлетворяющие названному условию. Помогите найти все такие числа.
44. Найдите наименьшее число, оканчивающееся на 5, такое, что, если перенести его последнюю цифру в начало, то число увеличится в пять раз. Составьте программу, в которой входное данное — натуральное число $n$ из отрезка [2; 9], а результат — наименьшее число, у которого первая цифра — $n$ и из которого, перенеся первую цифру в конец, получается новое число, в $n$ раз меньшее, нежели искомое.
45. Дано число в двоичной системе. Определите это число в десятичной системе. Составьте программу, которая получает два целых числа, записанных в двоичной системе, складывает их и результат показывает также в двоичной системе.

к содержанию