А.Д. Блинков Почему я не вызываю учеников к доске

А.Д. Блинков, заслуженный учитель РФ,

школа №218, г. Москва.

Почему я не вызываю учеников к доске ...

Я работаю учителем математики почти 30 лет и мои представления о том чему и как надо учить школьников многократно изменялись. Первые 15 лет я преподавал математику по единой для всей страны общеобразовательной программе, затем стал работать в основном в классах углубленного изучения математики, но не в «элитной школе», где при наборе в математический класс конкурс составляет 10 – 15 человек на место и отбираются самые одаренные школьники, а в обычной средней общеобразовательной школе, где такие классы на три четверти комплектуются из своих учеников. Поэтому, большинство моих учеников – школьники обычных способностей, а ведущий критерий отбора – желание учиться. В раннем возрасте легче заложить базу для дальнейшего серьезного изучения математики и пробудить интерес к предмету, поэтому, я люблю начинать работать с детьми с пятого или с шестого класса и учить большинство из них до окончания школы. Мне удалось сделать три таких «полных» выпуска (еще один предстоит через год) и от работы с этими школьниками я получал и получаю наибольшее удовлетворение. Конечно приходилось начинать работу и с восьмого класса, и даже с десятого, что, с моей точки зрения, наименее эффективно.

За долгий период работы сложилась определенная манера преподавания, сформировались какие-то приоритеты, сломались некоторые стереотипы. Уже в самом начале работы в школе мне очень не нравилась ситуация, характерная для системы всеобщего среднего образования, когда учитель заинтересован дать знания больше, чем ученик их получить. При этом никакие насильственные меры не приводили к улучшению ситуации: не помогали ни жесткий контроль за домашними заданиями, ни обязательные дополнительные занятия, ни выставление плохих оценок.

Постепенно я понял, что затертые казенные слова: «... урок – основная форма учебно-воспитательного процесса ...» несут в себе глубокий смысл. На первый взгляд парадоксально, но подготовка к урокам в последние годы у меня занимает гораздо больше времени, чем в начале учительской карьеры. Я должен очень четко и конкретно представлять себе чему я на данном уроке хочу научить, с какими знаниями и умениями с моего урока уйдут школьники. Ученикам должно быть интересно, но этот интерес должен достигаться не за счет внешних эффектов или искусственной занимательности. Интересно должно быть математическое содержание урока, интересными для учеников должны быть результаты собственной деятельности.

В методике преподавания математики в школе (особенно в советский период) приходила и уходила мода: то на повальное использование технических средств обучения, то на всевозможные игры на уроках, мода на лекционно-семинарский метод сменялась модой на ежедневную самостоятельную работу с учебником, и т. д. В моей работе основными техническими средствами обучения являются доска, мел и тряпка. Лекций на уроках я читать не люблю, так как мне необходим постоянный диалог с учениками, хорошие учебники, которых, к сожалению, очень мало, они могут читать и не на уроках, а плохие – не стоит читать вообще.

Основным инструментом в обучении для поддержания интереса к математике, по моему убеждению, является логика. Это и логика изучения математики в целом, и логика изучения каждой отдельной темы, и логика построения каждого урока, и логика решения той или иной задачи. Такой подход требует тщательного отбора материала к каждому уроку. Искусство преподавателя состоит в том, чтобы достичь результата экономными средствами. Мне претят «экстенсивные способы обучения»: понятно, что можно научить решать, например, тригонометрические уравнения, если заставить школьника решить двести уравнений, но гораздо разумнее и интереснее отобрать существенно меньшее количество уравнений и добиться того же эффекта!

Для того, чтобы школьники ощущали «ценность» урока, он должен быть максимально насыщенным, эмоциональным. На хорошем уроке ученики чувствуют отношение учителя к тому, что он преподает, им передается его восхищение красивыми математическими фактами или изящным способом решения задачи.

Многое из того, что сказано относится и к другим видам обучения математики – кружках, факультативным занятиям (ими я также занимаюсь много лет), но эти формы работы со школьниками не ограничены жесткими временными рамками и не требуют обязательных результатов обучения. Обязательных дополнительных занятий, куда насильственно приглашаются слабоуспевающие ученики, я не провожу, но выделено время для консультаций (чаще всего до уроков, с утра), когда учащиеся могут прийти ко мне со своими вопросами.

Каждый урок в моем нынешнем представлении – маленький спектакль со своим вступлением, кульминацией и развязкой. Я привык его начинать точно со звонком, поэтому прихожу в класс с началом перемены, настраиваюсь и готовлю все необходимое. Все мои ученики, коллеги и администрация школы давно привыкли к тому, что ко мне в класс нельзя войти во время урока или отвлечь меня каким-то иным образом. Это также невозможно, как войти в зрительный зал во время спектакля! Ученики моего первого выпуска до сих пор вспоминают, что за 7 лет моей работы с ними урок математики был отменен только один раз (ни они, ни я уже не помнят по какому поводу).

Уже много лет я не проверяю наличие домашних заданий и мои ученики знают, что любое домашнее задание они имеют право не делать или могут сделать только ту его часть, которую сочтут для себя необходимой. При этом каждый урок начинается с того, что я спрашиваю: «Какие у вас вопросы по домашней работе?» и все заданные ими вопросы обсуждаются. Каждое домашнее задание содержит также одну дополнительную задачу «олимпиадного уровня», как правило, тематически связанную с изучаемым материалом. Школьники, решившие такую задачу могут перед началом урока предъявить свое решение в письменном виде. За каждые две решенные дополнительные задачи ученик получает пятерку.

На самом уроке все подчинено успешному освоению учебного материала, оценки на уроках не ставятся, поэтому нет необходимости вызывать учеников к доске. Для чего обычно вызывают к доске? Для того, чтобы ученик рассказал то, что он выучил или для того, чтобы он решил «с ходу» какую-то задачу. В первом случае неясно чем занимаются остальные школьники: если слушают, то это, как правило, малоэффективный вид работы, а если делают что-то другое, то зачем ученику у доски говорить вслух? Во втором случае, чаще всего из-за недостатка времени, учитель помогает ученику решить задачу, а затем ставит оценку за то, насколько быстро ученик улавливает ход мысли учителя! При этом, значительная часть класса не решает задачу, а переписывает ее с доски.

Решать задачу ученику гораздо комфортнее в тетради, сидя на своем месте. Если школьник хочет высказать свое суждение по обсуждаемому теоретическому вопросу или по решению задачи, то ему дается такая возможность, и он это делает, сидя на своем месте. При необходимости я сам могу воспроизвести на доске то, что говорит школьник, причем сделаю это четко, акцентируя внимание на существенные шаги решения и опуская ненужные подробности. Таким образом – я работаю на доске, а ученики – в тетрадях. При обсуждении теоретического материала, я стараюсь постепенно заполнять доску, ничего не стирая, так, чтобы к концу этой работы можно было по записям на доске восстановить всю логику рассуждений. Мои ученики привыкли, что центральная часть доски отводится под теорию; левое «крыло» – под вводные, устные задания; правое «крыло» – под задания, которые им предстоит выполнить на уроке. Если я хочу, чтобы ученики после самостоятельного решения задачи проверили свои записи, то записываю решение задачи на обратной стороне «крыла».

Поскольку над школьниками на уроке не висит постоянный «призрак оценки», они – раскрепощены, не боятся высказывать свои суждения. За что же ставятся оценки? Прежде всего за текущие письменные самостоятельные работы. Они проводятся, в среднем, один раз в неделю, продолжительностью от 15 до 45 минут каждая. Для экономии времени, большая часть работ по геометрии проводится на заготовленных листах, где уже записаны условия задач и выполнены чертежи. Тексты остальных работ также выдаются учащимся в виде компьютерной распечатки. В случае, если самостоятельная работа написана учеником неудачно и на то есть объективные причины (болезнь, переутомление, случайный «срыв» хорошо успевающего ученика и пр.) оценка за работу в журнал не выставляется. При этом я являюсь противником, так называемого, «переписывания» самостоятельных и, тем более, контрольных работ, поскольку это снижает уровень ответственности школьников за свою подготовку.

В обязательном порядке выставляются все оценки за письменные контрольные работы по итогам темы. Эти работы содержат «многошаговые» задания, каждое из которых, в зависимости от сложности, оценивается определенным, оговоренным в тексте работы количеством баллов. Тем самым существует возможность оценить не только полное решение задачи, но и любое существенное продвижение. Максимальное количество баллов, которое может набрать школьник, выполняя каждую из таких работ, равно 40. Составление такой контрольной работы предусматривает одновременную разработку учителем критериев оценки (в баллах) каждого задания. Применение такой системы оценки знаний учащихся позволяет сделать эту оценку максимально объективной и дифференцированной. Последнее – особенно существенно, так как при оценке работы школьника по традиционной пятибалльной системе, гораздо труднее как сравнить между собой достижения разных учащихся, так и проследить динамику «роста» каждого из них. Сказанное не исключает выставление в классные журналы и дневники учащихся традиционных оценок за контрольные работы, которые определяются следующим образом: «5» – 38 - 40 баллов (выполнено верно – не менее 95% работы); «4» – 30 - 37 баллов (не менее 75%); «3» – 22 - 29 баллов (не менее 55%).

Каждая самостоятельная или контрольная работа обязательно содержит дополнительную (не обязательную часть), которая выполняется желающими при наличии времени и за которую выставляются только хорошие и отличные оценки. Часть этих заданий плавно «перекочевывают» в необязательное домашнее задание.

Помимо этого, в курсе геометрии (начиная с 8 класса) и в курсе алгебры и математического анализа (начиная с 10 класса) проводятся тематические зачеты по теории. Среди преподавателей математических школ и классов, комплектующихся за счет математически одаренных детей, преобладает точка зрения, что знания по теории учащиеся наиболее эффективно получают в процессе самостоятельного доказательства теорем и решения задач, содержащих важные математические факты, а поэтому их усвоение не требует какого-то дополнительного контроля (система, так называемых, «листочков»). Возможно для таких учащихся это и справедливо. Основной контингент моих учеников составляют учащиеся со средними способностями и не очень  высокой степенью начальной подготовленности. Работать с ними по системе «листочков» – означает поставить многих школьников в ситуацию постоянного «неуспеха». Поэтому, в процессе уроков я достаточно подробно обсуждаю с учениками вводимые определения, доказательства теорем и решения базовых задач. Отмечу также, что из-за большой насыщенности программного материала время на уроках весьма дефицитно и вряд ли целесообразно тратить его на опрос отдельных школьников. К тому же, нельзя не учитывать большую нагрузку учащихся и различную скорость освоения ими программного материала, что (даже при наличии времени на уроке) вряд ли делает разумным опрос учащихся по всему материалу предыдущего урока.

Я категорически не приемлю проведение обязательных учебных мероприятий во внеурочное время, поэтому разработал следующую систему проведения зачетов. Не менее, чем за три недели до проведения зачета учащиеся получают список всех основных вопросов темы. За несколько дней до зачета организуются одна – две консультации для тех, кому они нужны. Эти консультации проводятся во внеурочное время, но обязательными ни в коей мере не являются! Непосредственно для проведения зачета класс делится на две подгруппы. Зачет проводится на сдвоенном уроке и совмещен по времени с контрольной работой по последнему из пройденных разделов этой же темы. На каждом из двух уроков одна подгруппа пишет контрольную работу, другая в это время сдает зачет. Таким образом, за один сдвоенный урок каждый ученик класса получает две оценки по теме. Естественно, что в одиночку я не в состоянии за два урока опросить весь класс. На помощь приходят коллеги – учителя математики школы, а также мои выпускники – студенты математических факультетов Вузов. Для проведения зачетов в 8 – 9 классах иногда привлекаются и старшеклассники.

Мною проводится предварительная работа с принимающими зачет: уточняется, на что прежде всего следует обращать внимание в процессе опроса учащихся и совместно составляется  список дополнительных вопросов творческого характера. Количество принимающих зачет должно быть таким, чтобы каждый из них опрашивал за 45 минут не более, чем двух – трех учеников. Сам я, как правило, не участвую непосредственно в опросе, чтобы иметь возможность организовывать работу в целом и решать спорные вопросы. Это, помимо прочего, повышает объективность оценки знаний школьников, так как у любого учителя в процессе обучения складывается представление об уровне знаний того или иного ученика, что мешает ему объективно оценить его конкретный ответ по конкретной теме.

Каждая карточка (билет) содержит три или четыре вопроса, часть из которых носит более прикладной характер. Содержание этих вопросов в той или иной степени разбиралось с учащимися в процессе изучения темы. Поэтому полное воспроизведение билета, как правило, обеспечивает оценку «4». Для получения пятерки, чаще всего, необходимо ответить и на дополнительный вопрос. Характер этих вопросов учащимся заранее неизвестен. Естественно, что дополнительные вопросы уточняющего характера могут быть заданы учащимся и в процессе их ответа на вопросы билета, если в этом возникает необходимость. Ученики, не сдавшие зачет, обязаны пересдать его уже во внеурочное время. Для повышения ответственности учащихся за свою подготовку пересдавать положительные оценки (с целью их повышения), как правило, не разрешается.

В последнее время, с появлением компьютерных технологий, появилась возможность сделать свою работу еще более эффективной. Ученики, пропустившие те или иные уроки, могут в любое время получить у меня подробные распечатки текстов этих уроков, а накануне зачета – все желающие могут получить (на дискету или по электронной почте) копии файлов всех уроков по теме.

Кроме того, с помощью коллег и выпускников созданы обучающие и диагностические тесты для ряда тем углубленного курса математики 8 – 9 класса. За несколько дней до проведения тематического зачета учащиеся имеют возможность пройти соответствующее компьютерное тестирование. В результате этого тестирования школьник получает оценку компьютера (которая никуда не заносится, а служит только для самоконтроля), распечатку своих ответов на вопросы и распечатку верных ответов. Такая работа позволяет школьникам выявить пробелы в своих знаниях и устранить их.

Об экзаменах: по окончании 7, 8 и 10 классов мои ученики сдают обязательные письменные экзамены по алгебре (алгебре и математическому анализу), которые я составляю по той же схеме, что и контрольные работы (в 9 и 11 классах предусмотрены соответствующие государственные экзамены).

По геометрии в 9 и 11 классах я провожу устный экзамен. Для части школьников он проходит в традиционной форме (по билетам), но в любом классе у меня есть учащиеся, более «продвинутые» по сравнению со своими одноклассниками. Для этой категории учеников традиционная форма сдачи устных экзаменов не представляет каких-либо трудностей, следовательно, подготовка к ним не дает возможностей для их дальнейшего развития. Сама же традиционная форма экзамена оставляет им мало возможностей продемонстрировать глубину своих знаний по предмету. Поэтому этим школьникам я предлагаю сдавать экзамен по геометрии в форме «защиты реферата». Практика показывает, что в одиннадцатых классах учащихся, выбравших данную форму, оказывается больше, чем в девятых, так как подобная форма работы требует еще и достаточно высокой гуманитарной культуры.

Приведу несколько конкретных примеров тем экзаменационных рефератов. Планиметрия (9 класс): «Три загадочные точки в треугольнике», «Окружности, вписанные в сегменты, и касательные», «Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями», «Композиции геометрических преобразований на плоскости», «Инверсия на плоскости и ее приложения», «Биссектрисы и трисектрисы», «Аксиоматика и ее модели». Стереометрия (11 класс): «Описанные шары», «Вписанные шары», «Сечения в пространственных фигурах», «Геометрия на сфере», «Ортоцентрический тетраэдр, его свойства и признаки», «Равногранный тетраэдр, его свойства и признаки», «Правильная пирамида с совпадающими центрами вписанных и описанных шаров».

Независимо от темы, каждая работа включает в себя:

1) Введение, где показана значимость выбранной темы для ученика. Возможно описание предыстории некоторых классических задач и методов, которые встретятся в работе.

2) Основную часть, где даются все используемые в дальнейшем определения, рассматриваются доказательства теорем, приводятся примеры и т.п.;

3) Практическую часть, где показываются разнообразные применения теории и приводятся  решенные задачи;

4) Заключение, где указывается место данной темы в курсе геометрии и возможные межпредметные связи;

5) Оглавление и список использованной литературы.

Темы, предлагаемые для рефератов можно условно разделить на три типа:

1) «классификационный», позволяющий его автору обобщить материал, изучаемый в различных разделах геометрии и в различное время;

2) «познавательный», позволяющий его автору изучить внепрограммный теоретический   материал и показать его применение к решению задач основного курса;

3) «исследовательский», где основным содержанием реферата является  цепочка задач, решаемых автором самостоятельно.

Реферат «классификационного» типа предполагает обоснование принципа выбора классификации, ее полноту и достаточно высокий уровень обобщения программного материала (желательно изложение и сравнение различных классификаций). В лучших рефератах этого типа прослеживается наличие внутренней связи между внешне далекими понятиями и хорошо видно место, которое в школьном курсе геометрии занимают основные объекты классификации.

Реферат «познавательного» типа подразумевает изучение его автором достаточно сложного теоретического материала, далеко выходящего за рамки программы. В итоге должны быть собраны воедино и доступно изложены  основные положения изученного, приведены яркие и «выпуклые» примеры, иллюстрирующие характерные идеи и методы. Желательно, чтобы автор отметил возможность практического применения изложенных идей в областях, казалось бы, далеких от математики.

Реферат «исследовательского» типа требует от автора гораздо большего объема самостоятельной работы. Его основой является  исследование свойств и признаков выделенного класса фигур. Материал излагается в виде логически связной цепочки задач, что и определяет глубину исследования. Заключительная часть работы должна содержать обоснование перспективы развития темы.

Необходимо подчеркнуть, что любой реферат, независимо от типа, должен обязательно содержать задачи, решенные его автором самостоятельно.

Работой школьников руководят консультанты: учителя математики или студенты.

Готовый вариант реферата отдается на рецензирование. Экзаменационная комиссия расширяется за счет приглашаемых специалистов и методистов. Экзамен является «открытым», на нем присутствуют желающие одноклассники, учителя школы, представителя Вузов и т.д.

В процессе защиты ученик не воспроизводит полностью свою работу, а кратко излагает содержание реферата, подробно останавливаясь на наиболее существенных моментах, акцентируя при этом внимание на какой-либо проблеме, которую ему пришлось решать самостоятельно. По окончании сообщения автора зачитывается рецензия, после чего члены комиссии задают вопросы. Их цель – выяснить глубину освоения учеником материала и насколько свободно он в нем ориентируется. Защита реферата одним учеником занимает, как правило, от 30 до 45 минут.

Экзаменационная комиссия не ограничивается цифровой оценкой учащегося, а подробно характеризует достоинства и недостатки как самого реферата, так и процесса его защиты.

Совместную работу учеников, учителей и других участников процесса написания и защиты реферата, можно рассматривать как модель исследовательской деятельности в рамках общеобразовательной школы. При удачном осуществлении всех этапов этой работы, учащийся «поднимается» на качественно иной математический уровень, чего не происходит в случае традиционной формы подготовки и сдачи устного экзамена.

Многие мои ученики в дальнейшем выступали с этими же работами на различных научно-практических конференциях школьников.

Описав нетрадиционную форму экзамена по геометрии, я остановился только на одном аспекте внеурочной деятельности. Остальные формы работы более традиционны, это участие моих учеников, начиная с самого раннего возраста, во всевозможных олимпиадах, и математических конкурсах. Некоторые из этих олимпиад (математические регаты, весенний турнир Архимеда) были придуманы мною и моими коллегами для реализации прежде всего учебных целей и ориентированы они не на «особо одаренных», а на самых обычных школьников. Этим, в частности, объясняется и то, что названные соревнования являются командными. Многие школьники, которые еще не «созрели», чтобы решить несколько достаточно сложных задач на какой-то личной олимпиаде, с успехом работают в команде, решая задачи какой-то одной тематики, «генерируя» идеи, которые доводят до конца другие члены команды и т. д.

Групповую форму работы я применяю и в летнем математическом лагере, куда традиционно выезжают желающие старшеклассники нашей школы на протяжении последних восьми лет. Цель занятий в лагере – приобретение навыков решения олимпиадных задач, и, посредством этого, – углубление знаний учащихся в некоторых разделах математики.

На все время проведения занятий учащиеся разбиваются на постоянные команды по 4 – 5 человек, максимально равноценные по своим математическим возможностям. После объявления темы занятия и, если это необходимо, краткой вступительной беседы, каждая команда получает лист – задание, который содержит семь задач: 5 для «классной» и 2 для «домашней» работы. По каждой теме задачи подбираются так, чтобы в процессе их решения и в последующем обсуждении можно было затронуть наиболее существенные аспекты данной темы, а также продемонстрировать приемы, «типичные» для решения задач данной тематики. Задачи одного листа должны быть максимально разнообразны по трудности и содержанию. Условная «ценность» задач отмечается в баллах. Это позволяет членам команды распределить задачи между собой так, чтобы каждый решал то, что соответствует его реальным возможностям.

На решение задач командам отводится 75 – 90 минут, по истечении которых каждая команда подает «заявку» с номерами тех задач, которые его команда решила и готова рассказывать. Исходя из поданных заявок, преподаватель определяет для каждой команды задачи, на которые она имеет приоритет в изложении решения, стараясь предоставить всем максимальные возможности для выступления. На разбор остальных задач каждая команда имеет право выставить оппонента. В функции оппонента, как обычно, входит возможность задавать вопросы докладчику из другой команды, а также возможность опровергать неверные решения. Если одна и та же задача решена разными командами и способы решения принципиально различаются, то заслушиваются представители всех решивших её команд с сохранением за другими командами права на оппонирование. Как за рассказ решения задачи, так и за оппонирование, команда может получить баллы, исходя из объявленной ценности задачи. Если же задача не была решена ни одной из команд, то ее решение разбирает учитель, но и в этом случае командам могут быть начислены какие-то баллы за высказанные верные идеи.

В отличие от похожей процедуры на математическом бое, сумма баллов, полученных командами за одну задачу может превышать ее «ценность»: например, если задача «стоит» пять баллов, то одна команда может получить 4 балла за верное решение с некоторым недочетом, другая – 5 баллов за другой способ решения, а третья команда – 2 балла за грамотно поставленные вопросы, даже если на какие-то из них докладчики сумели ответить. Кроме того, на тематических занятиях жестко не ограничивается количество раз, которое один и тот же член команды может выступать в качестве докладчика или оппонента.

Решения домашних задач сдаются в письменном виде до начала следующего занятия, проверяются по критериям письменной олимпиадной работы, и за них также начисляются баллы. Перед началом каждого занятия подводится итог соревнования по предыдущей теме, то есть объявляется и награждается команда, набравшая наибольшее количество баллов. Аналогичные итоги подводятся по прошествии каждой недели, в конце которой проводится математическая регата, и по окончании лагерной смены (перед проведением итогового математического боя).

Отдельно остановлюсь на привлечении студентов-математиков к учебному процессу. Эта идея является традиционной для многих математических школ, особенно там, где действует система «листочков». В рамках такой системы студенты становятся преподавателями предмета, обычно называемого «Дополнительная математика», причем иногда – ведущими. Такая практика мне представляется спорной, поскольку, на мой взгляд, решающую роль в обучении играет совокупность многих личных и профессиональных качеств учителя, которое обычно называют «мастерством». Приобретается оно постепенно, в том числе, и работой с различными категориями школьников (а не только с одаренными). В силу возраста и небольшого опыта, ограниченного, как правило, работой с одним классом, мало кто из студентов успевает это мастерство приобрести.

При этом сама идея общения школьников и студентов на «почве математики» является весьма плодотворной, и приносящей много пользы обеим сторонам. В частности, школьники лучше видят свою «ближайшую перспективу». В моей практике студенты, многие из которых являются моими выпускниками, выступают скорее в роли ассистентов: ведут математические кружки, принимают зачеты, консультируют школьников при подготовке исследовательской работы и пр.

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что эти заметки – взгляд только одного из двух равноправных участников педагогического процесса – учителя. Понятно, что очень много в успешности процесса обучения зависит от ученика. Будучи молодым учителем, я придавал большое значение математической одаренности школьников, с годами – все больше ценю желание учиться и способность трудиться. В моей практике было множество примеров, когда успеха достигали не самые способные ученики, а те, кто больше этого хотели.

Свой долг я вижу в том, чтобы максимально помочь тем школьникам, которые хотят знать математику.