А.Л. Тоом
Наблюдения математика над математическим образованием
Я — математик, интересующийся математическим образованием. Я вёл исследования и учил студентов два десятилетия в России, несколько лет в США и два года в Бразилии. В этой статье я хочу объяснить, почему я считаю, что математическое образование в начальных и средних школах России лучше, чем в США и Бразилии.
Несколько лет назад департамент образования США, при сотрудничестве аналогичных органов многих других стран, провёл Третье Международное Исследование по Математике и Науке (ThirdInternational Mathematics and Science Study — TIMSS) (1). Целью этого исследования было сравнение среднего качества математического и научного образования на разных уровнях в возможно бóльшем числе стран. Результат этого исследования показал, что наибольших успехов достигают ученики нескольких восточно-азиатских стран, а вслед за ними — нескольких европейских стран, включая Россию. Школьники Соединённых Штатов значительно отстали от этих групп. Из всех стран Латинской Америки участвовала только Колумбия и оказалась в конце списка.
Теперь я сконцентрируюсь на нескольких недостатках американского образования, предоставляя читателю делать выводы в применении к Бразилии.
Первый недостаток — это предубеждение американских образователей против теории. Под теорией я не имею в виду ничего сверхтрудного. Например, когда я учился в школе, мы изучали геометрию как дедуктивную систему и доказывали теоремы. Хотя наши доказательства были не вполне строгими, сама идея была стимулирующей. В американском же образовании такие теоретические занятия могут считаться даже нежелательными. Откуда я знаю?
Десять лет назад Национальный Совет Учителей Математики (National Council of Teachers ofMathematics — NCTM), очень могущественная организация, начал публиковать так называемые «Стандарты» для математического образования в трёх томах. Сконцентрируем наше внимание на первом томе (2), потому что два другие тома почти никогда не обсуждаются, так мало математики они содержат (3). Наиболее примечательная особенность этих «стандартов» — это отсутствие математики как системы. Они включают несколько хорошо известных математических фактов и несколько полезных задач, но все они вырваны из их естественного контекста. Например, теорема Пифагора упоминается в «стандартах» на с. 113-114 вместе с хорошо известным чертежом, который можно использовать для её доказательства; однако рекомендуется использовать эту фигуру только для того чтобы «открыть это соотношение путём исследования». Возможность доказать эту важную теорему даже не упоминается и само понятие доказательства избегается на протяжение всего документа.
Во введении к «стандартам» говорится (с. VI): «Следующие математические и научные органы едины с Национальным Советом Учителей Математики, способствуя видению школьной математики описанному в Программных и Оценочных Стандартах для Школьной Математики» (2), и за этим следует внушительный список, включающий Американское Математическое Общество (American MathematicalSociety — AMS). Поскольку «Стандарты» казались поддержанными такими авторитетными организациями, неудивительно, что многие учителя заявили, что преподают в соответствии с этими стандартами. Когда у этих учителей спрашивали, почему они так считают, большинство из них отвечали: «Потому что мои ученики используют калькуляторы вместо вычислений с карандашом и бумагой». Это говорилось с гордостью, потому что «Стандарты» действительно полны рекомендаций уделить больше внимания технологии, включая калькуляторы, и уменьшить внимание вычислениям с карандашом и бумагой. «Стандарты» превратили использование калькуляторов в вопрос престижа и некоторые учителя начали чувствовать себя неадекватными и устарелыми если не употребляли их на своих уроках. Давались помпезные обещания, что благодаря калькуляторам у детей будет больше времени для развития «мыслительных умений высокого уровня», но на деле наблюдалось противоположное. Многие профессора университетов жаловались, что студенты разучились выполнять даже простейшие вычисления.
Затем произошло нечто действительно драматическое. В октябре 1999 года департамент образования Соединённых Штатов, руководимый Ричардом У. Райли (Richard W. Riley), одобрил десять программ (4) по математике для начальной и средней школы, назвав пять из них «образцовыми» и остальные пять «обещающими». Это решение было основано на заключениях Экспертной панели, из членов которой только один был активен в математических исследованиях. На этот раз некоторые математики решили действовать. 18 ноября 1999 года газета Washington Post напечатала письмо, подписанное 200 математиками и другими учёными, призывая Райли отменить одобрение этих программ. NCTM немедленно выразил полную поддержку Райли с его одобрением этих программ, что неудивительно, поскольку Экспертная панель основывала свои критерии частично на «Стандартах». Райли в ответ на письмо математиков вновь подтвердил свою позицию. Таким образом, мы видим открытое противостояние математиков, учёных и родителей с одной стороны и государственных служащих и лидеров образования с другой. Об чём спор?
Наиболее очевидный пункт разногласий — это должны ли дети выучивать алгоритмы арифметических операций и выполнять их с карандашом и бумагой или вместо этого они должны использовать калькуляторы. Разница в мнениях может быть проиллюстрирована двумя цитатами, обе из которых включены в письмо математиков. Одна из них взята из статьи, написанной одним членом Экспертной панели, опубликованной 9 февраля 1994 года и помещённой в Интернете: «Пора признать, что для многих учащихся подлинный математический потенциал с одной стороны и тренировка в применении вычислительных алгоритмов к многозначным числам с использованием карандаша и бумаги с другой — исключают друг друга. Фактически пора признать, что продолжать преподавать эти умения не только излишне, но и решительно опасно».
Другая цитата — из заявления, сделанного комиссией, назначенной AMS, чтобы представлять его в переговорах с NCTM: «Мы хотели бы подчеркнуть, что стандартные алгоритмы арифметики — это не просто «средства для получения ответа», потому что они имеют значение теоретическое, а не только практическое. Важно то, что все алгоритмы арифметики подготовляют учащихся к алгебре, потому что существуют (опять же, не случайно, а в силу устройства десятичной системы) глубокие аналогии между арифметикой чисел и арифметикой многочленов». (5)
В России вычисления в уме и на бумаге всегда единодушно высоко ценились и считались необходимыми не только по практическим соображениям, но и для понимания этих операций.
Итак, «реформаторы» математического образования в Соединённых Штатах уже исключили из программы бóльшую часть теории и теперь хотят исключить арифметические алгоритмы. Ради чего? Ради «решения задач». Программа Действий (Agenda for Action), которая 20 лет назад выражала мненияNCTM, предлагала поставить решение задач в центр внимания школьной математики (6). «Стандарты» полностью разделяют это мнение (с. 6) и начинают каждую из своих трёх частей (начальная школа, средние классы, старшие классы) с главы под названием «Математика как решение задач». По моему мнению, решать задачи действительно очень важно, поэтому моя первая реакция на все эти заявления была позитивной. Сомнения пришли ко мне лишь после того, как я заметил, что каждый раз, как эти образователи говорят о том, как они заботятся о решении задач, они стараются исключить что-нибудь из программы.
В этой статье я концентрирую внимание на трёх тенденциях в школьной математике, которые представляются мне особенно опасными: исключить теорию ради «непосредственного» (hands-on) подхода, исключить арифметические вычисления с карандашом и бумагой ради «мыслительных умений высокого уровня» (high level thinking skills) и исключить текстовые задачи ради «задач реального мира» (real-world problems). Мы уже проиллюстрировали первые две тенденции, теперь перейдём к третьей.
Русские задачники полны текстовых задач. Ключевая характеристика этих задач — это использование слов, не являющихся математическими терминами, как, например, автомобили и поезда; расстояние, время и скорость; корабли и течение; самолёты и ветер; ящики, банки и мячи; длина, ширина и высота; периметр, площадь и объём; трубы, насосы и бассейны; масса, процент и смеси; часы, стрелки часов, минуты и время дня; годы и возраст; деньги, цены, пени и скидки; и т. д. В России присутствие, даже обилие текстовых задач в математическом образовании всегда было нормальным, но в Соединённых Штатах это совсем не так. Хотя американские образователи выражают внешнее почтение Джорджу Пойа, они сплошь и рядом игнорируют его советы. Пойа писал (7):
Зачем нужны словесные задачи? Я надеюсь, что шокирую лишь немногих математиков, утверждая, что самая важная частная задача математического образования в средней школе — это научить составлять уравнения для решения словесных задач. В пользу высказанного мнения безусловно имеются сильные аргументы. При решении словесных задач с помощью уравнений учащийся осуществляет перевод реальной обстановки на математический язык и при этом убеждается на опыте, что математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно тщательно разрабатывать.
Когда я читал «Математическое открытие» Пойа живя в России, я думал что это просто хорошая книга. Только теперь я понимаю, как она полемична. Две её первые главы посвящены двум Золушкам американского образования: классической геометрии и текстовым задачам. В Америке текстовые задачи (word problems, verbal problems, story problems) считаются трудными и фрустрирующими. Есть карикатура в серии Фар Сайд (Far Side) под названием «Адская библиотека», изображающая библиотеку, полную сборников текстовых задач. Милдред Джонсон, опытный педагог, начинает свою книгу, посвящённую текстовым задачам (по русским меркам, очень простым), таким образом: «Нет области в алгебре, вызывающей у учащихся больше затруднений, чем решение текстовых задач» (8).
Поскольку текстовые задачи трудны для некоторых учащихся и даже педагогов, было бы естественно уделить им больше внимания в пединститутах, Так и было сделано в России, но не в Соединённых Штатах. Вместо этого лидеры образования постарались создать впечатление, что сами текстовые задачи чем-то плохи. Например, «Учитель математики» (Mathematics teacher, главный американский журнал для учителей математики в старших классах) опубликовал статью Залмана Усыскина, влиятельного образователя, в которой написано: «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые традиционные текстовые задачи больше не нужны» (9, с. 158-159). В предисловии редактора к этой статье говорится, что высказанные в ней положения близки к идеям «Стандартов». Почему Усыскин называет традиционные текстовые задачи фальшивыми? Он приводит задачу: «У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?» Затем Усыскин пишет: «Поскольку монеты были сосчитаны, почему бы не сосчитать отдельно монеты в 5 центов и отдельно в 10 центов?» (с. 159)
В России (и, думаю, в огромном большинстве стран) этот странный аргумент был бы оставлен без внимания как неудачная шутка, но в Америке к нему относятся с большим почтением. Выверты в образовании, упомянутые выше, в худшем случае могут оставить детей без образования, но этот последний гораздо опаснее. Этот аргумент был первоначально выдвинут Торндайком, известным американским бихевиористом. Одна глава его книги (10) называется «Нереальные и бесполезные задачи». К таковым относятся все задачи, которые не могут встретиться буквально в том же виде в жизни. Торндайк считал, что такие задачи, будучи даны детям, вызывают у них чувство никчёмности и предложил исключить их из программы. Педагогические идеи Торндайка подвергались суровой критике. В частности, Лев Выготский, знаменитый русский психолог, резко критиковал Торндайка в своих работах (11) и (12).
Что позитивного предлагают «реформаторы» образования? Заглянем в список рекомендаций в третьей части «Стандартов», посвящённой старшим классам школы. Возглавляет этот список рекомендация «увеличить внимание задачам реального мира, чтобы мотивировать и применять теорию» (с. 126). Что такое «задачи реального мира» и как отличить их от «традиционных фальшивых текстовых задач»? Никто не знает наверное. Чтобы проиллюстрировать, как запутано понятие «задач реального мира», сравним рекомендацию увеличить им внимание с помещённой на следующей странице рекомендацией «уменьшить внимание типовым текстовым задачам: с монетами, разрядами, работой». Поскольку невозможно увеличить и уменьшить внимание одному и тому же, мы заключаем, что задачи с монетами не являются задачами реального мира, откуда можно заключить, что монеты не существуют в реальном мире. Этот вывод кажется смешным, но это факт, что после публикации «Стандартов» некоторые образователи уменьшили внимание задачам с монетами. Над этой практикой посмеивались, но никто не объяснил, как правильно следовать рекомендации.
Ещё одно странное последствие той же рекомендации: некоторые вообразили, что «задачи реального мира» — это те, в которых упоминаются названия фирм, выпускающих продукты. В некоторых учебниках появились задачи вроде следующей: «Печенье Орео — самое популярное из продающихся в упаковках. Диаметр печенья Орео — 1,75 дюйма. Выразите диаметр печенья Орео как несократимую дробь» (13).
Тем временем, образовательные войны продолжаются. 2 февраля 2000 было проведено совещание на тему «О роли федерального правительства в реформе преподавания математики в школе». На этом совещании, математик Джим Милграм (Jim Milgram) заявил о драматическом падении знаний учащихся, поступающих в университеты в последние годы. Думаю, что Милграм прав. Когда я читаю курс в университете, мне необходимо быть уверенным, что мои студенты хорошо обучены традиционной школьной математике, начиная с самых азов. Кто живёт на верхушке здания, должен заботиться обо всём здании.
(1) О TIMSS см. http://timss.bc.edu
(2) Программные и оценочные Стандарты для школьной математики. (Curriculum and evaluation Standards for school mathematics. National Council of Teachers of Mathematics, March 1989.)
(3) Уже опубликована новая версия «Стандартов» под названием «Принципы и Стандарты для Школьной Математики» (Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, 2000), но она не отменяет «стандартов» 1989 года, поэтому наша критика остаётся актуальной.
(4) Оригинал этой статьи давал ссылки на адреса в Интернете, содержащие информацию об одобренных программах, список членов панели и т.п., но теперь большая часть этих адресов устарели. Впрочем, все эти материалы легко найти, используя google для поиска с ключевыми словами exemplary,promising, expert panel, fuzzy, Riley, Berriozabal, Leinwand, Milgram и т. п.
(5) American Mathematical Society NCTM2000 Association Research Group Second Report. June 1997. Notices of the AMS, February 1998, p. 275.
(6) Agenda for Action. Recommendations for School Mathematics of the 1980s. NCTM, Reston, VA, 1980, p. 4.
(7) Пойа, Д. Математическое открытие. Москва, Наука, 1970, с. 83.
(8) Johnson, М. How to solve word problems in algebra. A solved problem approach. Updated First Edition. McGraw-Hill, 1992, с. 3.
(9) Usiskin, Z. What should not be in the algebra and geometry curricula of average college-bound students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2. February 1995, pp. 156-164.
(10) Thorndike, E. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.
(11) Выготский Л. С. Проблема развития в структурной психологии. Собрание сочинений, Москва, Педагогика, т. 1, 1992.
(12) Выготский Л. С. Мышление и речь. Собрание сочинений, Москва, Педагогика, т. 2, 1992.
(13) Hays, Constance. Math Textbook Salted With Brand Names Raises New Alarm. The New YorkTimes, March 21, 1999. (Эта статья тоже есть на Интернете.)