ЕГЭ по математике 2015

Пробная работа 23 апреля 2015 Брянск

Профильный уровень

Вариант 1

Условия задач с ответами и решениями 

1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 1/10 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

2. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена нефти на момент закрытия торгов была от 43 до 45 долларов США за баррель. 

3. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 20000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

   Банк	Обслуживание счета*	Процентная ставка (% годовых)**
   Банк А	50 руб в год	2,2
   Банк Б	9 руб в месяц	2,3
   Банк В	бесплатно	1,2

   * В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета

   ** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

4. Найдите тангенс угла АОВ. 

5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

6. Найдите корень уравнения $(x+8)^5=243$

7. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D' , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

8. На рисунке изображен график функции y = f (x) и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. 

9. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

10. Найдите значение выражения $x+\sqrt{x^2+32x+256}$ при $x\le -16$.

11. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I=\displaystyle\frac{\epsilon}{R+r}$, где ε – ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом – его внутреннее сопротивление, R – сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания $I_k=\displaystyle\frac{\epsilon}{r}$ ? (Ответ выразите в омах.)

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны $32\sqrt{5}$. Найдите расстояние между точками $A_1$ и $D$.

13. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

14. Найдите наименьшее значение функции $y=(x+3)^2e^{-3-x}$ на отрезке $[-5;-1]$.
15. а) Решите уравнение $12\cdot 36^{\sin x}-12^{\sin x}=4^{\sin x}$
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-7\pi/2; 2\pi]$.
16. Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. а) Докажите, что плоскости $AD_1C$ и $BB_1D_1$ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $AD_1C$, если $AB=7$, $AA_1=8$.
17. Решите неравенство $|\log_{0,5}x-2|\ge 2+\displaystyle\frac{1}{4-|\log_{0,5}x-2|}$
18. Дан треугольник АВС.
    а) Докажите, что радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле  $r_a=\displaystyle\frac{S}{p-a}$.
    б) Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся основания ВС равнобедренного треугольника АВС, если высота, опущенная на основание, равна 50, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 24.
19. Сергей взял кредит в банке на несколько месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 60%. Найдите, на какой срок (сколько месяцев) Сергей взял кредит в банке?
20. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет единственное решение. 
21. Можно ли расставить $n$ натуральных чисел от $1$ до $n$ в таком порядке, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более идущих чисел не было целым: а) при $n=5$; б) при $n=2k+1$; в) при $n=6$; г) при $n=2k$?

смотрите еще ЕГЭ 2015 Диагностическая работа от 22 апреля  и ЕГЭ 2015 23 апреля Брянск Вариант 2

Ответы и решения (в процессе...)

1. 12
2. 4
3. 20388,9
4. 0,5
5. 0,9975
6. -5
7. 76,5
8. 4
9. 36
10. -16
11. 4
12. 160
13. 4
14. 0
15. a) $-\pi/2+2\pi n, n\in Z$ б) $-5\pi/2; -\pi/2; 3\pi/2$
16. $112\sqrt{177}/177$
17. $(0;1/64)\cup$ {$2$}$\cup${$1/32$}$\cup (4; +\infty)$
18. б) 600
19. 9 месяцев
20. $(-4;-\sqrt{10}]\cup${$-\sqrt{2}$}$\cup${$\sqrt{2}$}$\cup [\sqrt{10}; 4)$
21. -