ЕГЭ. Математика. Занятие 2. Преобразование алгебраических выражений-II

7. Представьте число $3,21(6)$ в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Пусть $3,21(6) = x$ . Для того чтобы “,” оказалась перед периодом (6) умножим левую и правую части этого равенства на 100: $321,(6) = 100x$ . И еще умножим на 10, чтобы “,” сместилась на длину периода: $3216,(6) = 1000x$ . Отнимем от последнего уравнения предыдущее: $3216,(6) - 321,(6) = 1000x - 100x$ , и заметим, что в левой части получается целое число: $2895 = 900x$ , откуда $x = \frac{{2895}}{{900}} = \frac{{193}}{{60}}$ .

Ответ: $\frac{{193}}{{60}}$

8. $0,(51)$ . Ответ: $\frac{{17}}{{33}}$

9. $4,11(3)$ . Ответ: $\frac{{617}}{{150}}$

10. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении $(x + 2)(x^2 + 4 - 2x) - (x^2 - 3x)(x + 3)$ .

Решение:

$(x + 2)(x^2 + 4 - 2x) - (x^2 - 3x)(x + 3) = x^3 + 4x - 2x^2 + 2x^2 + 8 - 4x -$ $(x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x) = x^3 + 8 - (x^3 - 9x) =$ $x^3 + 8 - x^3 + 9x = 9x + 8$ .

Ответ: $9x + 8$

11. $a^3 - (a - 4)(a^2 + 12 + 3a) - a(a + 3)$ . Ответ: $- 3a + 48$

12. $(x + 2y - 2(x + y)) \cdot (x^2 - (x^2 + y))$ . Ответ: $xy$

13. Разложите на множители выражение $135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} - 36a^6 b^{16}$ .

Решение:

Так как среди степеней выражений $a^{12} ,\,\,\,a^{10}$ и $a^6$ наименьшая степень равна 6; среди степеней выражений $b^8 ,\,\,\,b^{11}$ и $b^{16}$ наименьшая равна 8 и наибольший общий делитель чисел 135, 90 и 36 равен 9, то общий множитель равен $9a^6 b^8$ . Тогда $135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} - 36a^6 b^{16} = 9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 - 4b^8 )$ .

Ответ: $9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 - 4b^8 )$

14. $72a^5 x^4 - 54a^3 x^5 + 36a^2 x^6$ . Ответ: $18a^2 x^4 (4a^3 - 3ax + 2x^2 )$

15. $- 56c^7 (x + 1)^{10} + 42c^5 (x + 1)^{16} - 70c^4 (x + 1)^{20}$ .

Ответ: $- 14c^4 (x + 1)^{10} (4c^3 - 3c(x + 1)^6 + 5(x + 1)^{10} )$

16. Разложите на множители выражение $(2x - 1)^3 + 1$ .

Решение:

Применим формулу сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 )$

при $a = 2x - 1$ и $b = 1:$ $(2x - 1)^3 + 1^3 = (2x - 1 + 1)((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 1 + 1^2 ) = 2x(4x^2 - 4x + 1 - 2x + 1 + 1) =$ $2x(4x^2 - 6x + 3).$ Ко второму множителю нельзя применить формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1 )(x - x_2 )$ , так как дискриминант равен $- 12 < 0$ .