ЕГЭ. Математика. Занятие 2. Преобразование алгебраических выражений-II

7.        Представьте число 3,21(6)  в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Пусть 3,21(6) = x.  Для того чтобы “,” оказалась перед периодом (6) умножим левую и правую части этого равенства на 100: 321,(6) = 100x. И еще умножим на 10, чтобы “,” сместилась на длину периода: 3216,(6) = 1000x. Отнимем от последнего уравнения предыдущее: 3216,(6) - 321,(6) = 1000x - 100x, и заметим, что в левой части получается целое число: 2895 = 900x, откуда x = \frac{{2895}}{{900}} = \frac{{193}}{{60}}.

Ответ:  \frac{{193}}{{60}}

8.      0,(51).                 Ответ:  \frac{{17}}{{33}}

9.       4,11(3).              Ответ:  \frac{{617}}{{150}}

10.      Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении  (x + 2)(x^2 + 4 - 2x) - (x^2 - 3x)(x + 3).

Решение:

(x + 2)(x^2 + 4 - 2x) - (x^2 - 3x)(x + 3) = x^3 + 4x - 2x^2 + 2x^2 + 8 - 4x - (x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x) = x^3 + 8 - (x^3 - 9x) = x^3 + 8 - x^3 + 9x = 9x + 8.

                                                                                                                                 Ответ: 9x + 8

11.     a^3 - (a - 4)(a^2 + 12 + 3a) - a(a + 3).                               Ответ:  - 3a + 48

12.    (x + 2y - 2(x + y)) \cdot (x^2 - (x^2 + y)).                      Ответ: xy

13.      Разложите на множители выражение  135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} - 36a^6 b^{16}.

Решение:

Так как среди степеней выражений a^{12} ,\,\,\,a^{10}  и  a^6 наименьшая степень равна 6;  среди степеней выражений  b^8 ,\,\,\,b^{11} и b^{16} наименьшая равна 8 и наибольший общий делитель чисел 135,  90 и 36 равен 9, то общий множитель равен 9a^6 b^8. Тогда 135a^{12} b^8 + 90a^{10} b^{11} - 36a^6 b^{16} = 9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 - 4b^8 ).

                                                                                                                   Ответ:  9a^6 b^8 (15a^6 + 10a^4 b^3 - 4b^8 )

14.   72a^5 x^4 - 54a^3 x^5 + 36a^2 x^6 .              Ответ:  18a^2 x^4 (4a^3 - 3ax + 2x^2 )

15.   - 56c^7 (x + 1)^{10} + 42c^5 (x + 1)^{16} - 70c^4 (x + 1)^{20}.

Ответ: - 14c^4 (x + 1)^{10} (4c^3 - 3c(x + 1)^6 + 5(x + 1)^{10} )

16.      Разложите на множители выражение  (2x - 1)^3 + 1.

Решение:

Применим формулу сокращенного умножения  a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 )

 при  a = 2x - 1  и   b = 1:  (2x - 1)^3 + 1^3 = (2x - 1 + 1)((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 1 + 1^2 ) = 2x(4x^2 - 4x + 1 - 2x + 1 + 1) = 2x(4x^2 - 6x + 3). Ко второму множителю нельзя применить формулу разложения квадратного трехчлена  ax^2 + bx + c = a(x - x_1 )(x - x_2 ), так как дискриминант равен  - 12 < 0.

                                                                                                                  Ответ:  2x(4x^2 - 6x + 3)

17.    27 + (x - 2)^3.                                                              Ответ:   (x + 1)(x^2 - 7x + 19)

18.    (2p + 1)^3 - 8.                                                               Ответ: (2p - 1)(4p^2 + 8p + 7)