EGMO 2015. Европейская математическая олимпиада для девочек

Европейская математическая олимпиада для девочек

EGMO 2015, Минск, Беларусь

олимпиада

День первый

Время 4 часа 30 мин

  1. Пусть ABC - остроугольный треугольник, а точка D - основание высоты, проведенной из вершины С. Биссектриса угла АВС  пересекает CD в точке Е, а описанную окружность \omega треугольника ADE вторично пересекает в точке F. Докажите, что если угол ADF равен 45 градусов, то CF является касательной к окружности \omega.
  2. Домино - это плитка размера 2 x 1 или 1 x 2. Определите количество различных способов расположить ровно n^2 плиток домино без наложений на шахматной доске размера 2n х 2n так, что каждый квадрат размера 2 х 2 содержит по крайней мере две пустых клетки, которые находятся в одной и той же строке или одном и том же столбце.
  3. Пусть n, m - натуральные числа, большие 1, и пусть a_1, a_2, ..., a_m - натуральные числа, не превосходящие n^m. Докажите, что существуют натуральные числа b_1, b_2, ..., b_m, не превосходящие n, такие, что НОД(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_m+b_m)<n, где НОД(x_1,x_2,...,x_m) обозначает наибольший общий делитель чисел x_1,x_2,...,x_m.

День второй

Время 4 часа 30 мин

  1. Определите, существует ли бесконечная последовательность a_1, a_2, ... натуральных чисел, удовлетворяющая равенству a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_n} для любого натурального значения n.
  2. Пусть m и n являются натуральными числами, причем m>1. Анастасия разбивает натуральные числа 1,2,...,2m на m пар. Затем Борис выбирает по одному числу из каждой пары и находит сумму этих выбранных чисел. Докажите, что Анастасия может выбрать разбиение на пары так, что Борис не сможет сделать свою сумму равной n.
  3. Пусть Н - ортоцентр, а G - центр тяжести остроугольного треугольника ABC, причем AB \ne AC. Прямая AG пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точках А и Р. Пусть P' - отражение точки Р относительно прямой ВС. Докажите, что угол CAB равен 60 градусов тогда и только тогда, когда HG = GP'.

смотреть другие олимпиады

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *