Европейская математическая олимпиада для девочек

EGMO 2015, Минск, Беларусь

День первый

Время 4 часа 30 мин

1. Пусть ABC - остроугольный треугольник, а точка D - основание высоты, проведенной из вершины С. Биссектриса угла АВС  пересекает CD в точке Е, а описанную окружность $\omega$ треугольника ADE вторично пересекает в точке F. Докажите, что если угол ADF равен 45 градусов, то CF является касательной к окружности $\omega$.
2. Домино - это плитка размера 2 x 1 или 1 x 2. Определите количество различных способов расположить ровно $n^2$ плиток домино без наложений на шахматной доске размера $2n$ х $2n$ так, что каждый квадрат размера $2$ х $2$ содержит по крайней мере две пустых клетки, которые находятся в одной и той же строке или одном и том же столбце.
3. Пусть $n$, $m$ - натуральные числа, большие 1, и пусть $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$ - натуральные числа, не превосходящие $n^m$. Докажите, что существуют натуральные числа $b_1, b_2, ..., b_m$, не превосходящие $n$, такие, что НОД($a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_m+b_m$)$<n$, где НОД($x_1,x_2,...,x_m$) обозначает наибольший общий делитель чисел $x_1,x_2,...,x_m$.

День второй

Время 4 часа 30 мин

4. Определите, существует ли бесконечная последовательность $a_1, a_2, ...$ натуральных чисел, удовлетворяющая равенству $a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_n}$ для любого натурального значения $n$.
5. Пусть $m$ и $n$ являются натуральными числами, причем $m>1$. Анастасия разбивает натуральные числа $1,2,...,2m$ на $m$ пар. Затем Борис выбирает по одному числу из каждой пары и находит сумму этих выбранных чисел. Докажите, что Анастасия может выбрать разбиение на пары так, что Борис не сможет сделать свою сумму равной $n$.
6. Пусть Н - ортоцентр, а G - центр тяжести остроугольного треугольника ABC, причем AB $\ne$ AC. Прямая AG пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точках А и Р. Пусть $P'$ - отражение точки Р относительно прямой ВС. Докажите, что угол CAB равен 60 градусов тогда и только тогда, когда $HG = GP'$.

смотреть другие олимпиады