ЕГЭ Пробный вариант ФИПИ январь 2016 Профильный 11

Пробный вариант ЕГЭ ФИПИ

Профильный уровень, 11 класс, январь, 2016 г

Условия задач, ответы и решения (скоро...)

Вариант 3

Часть 1

1. Система навигации самолета информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 21 000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

2. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали - количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, каким было наибольшее количество посетителей в данный день на сайте РИА Новости.

3. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 73. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

5. Найдите корень уравнения $\displaystyle\frac{x-27}{x-3}=4$ .

6. В треугольнике ABC угол С равен 90^o, BC равно 12, $\cos A$ равен 0,25. Найдите высоту СН.

7. На рисунке изображен график $y=f'(x)$ - производной функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-6;7)$ . В какой точке отрезка $[-4;2]$ функция $y=f(x)$ принимает наименьшее значение?

8. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 27. Найдите объем треугольной пирамиды $ABDA_1$ .

Часть 2

9. Найдите значение выражения $\log_6234-\log_66,5$

10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$ , где $H_0 = 3$ м - начальный уровень воды, $a=\displaystyle\frac{1}{1200}$ м/мин² и $b=-\displaystyle\frac{1}{10}$ м/мин - постоянные, $t$ - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ выразите в минутах.

11. Феде надо решить 90 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Федя решил 10 задач. Определите, сколько задач решил Федя в последний день, если со всеми задачами он справился за 6 дней.

12. Найдите наименьшее значение функции $y=x^3-27x+11$ на отрезке $[0;4]$ .

13. а) Решите уравнение $\sin^2x-3\sin x-4=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -5\pi/2]$ .

14. На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA = 4:1$ , а на ребре $BB_1$ - точка $F$ так, что $B_1F : FB = 2:3$ . Известно, что $AB=5\sqrt{2}$ , $AD = 12$ , $AA_1 = 15$ .
а) Докажите, что плоскость $EFD_1$ делит ребро $B_1C_1$ на два равных отрезка.
б) Найдите угол между плоскостью $EFD_1$ и плоскостью $AA_1B_1$ .

15. Решите неравенство $x\le\log_4(322\cdot 14^x-14^{2x+1})-\log_4 (322\cdot 2^x-7^{x+1}\cdot 2^{2x+1})$

16. Дан прямоугольный треугольник RST с прямым углом T. На катете RT взята точка M. Окружность с центром О и диаметром TM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и SO параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника SOMN, если TN = 8 и RM:MT = 1:3.

17. 10-го марта клиент взял кредит в банке на следующих условиях:

срок кредита 24 месяца;
1-го числа каждого следующего месяца долг возрастает на 1,2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 9-ое число каждого месяца следует погасить часть долга, так чтобы на 10-ое число каждого месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму.

Какая сумма была взята в кредит, если известно, что общая сумма выплат равняется 1,035 млн рублей?

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система $\left\{\begin{array}{l l} x^2+ay^2+2x+4-a=0,\\ ax^2+y^2+2y+4-a=0,\\ |x|>1, \\ |y|>1 \end{array}\right.$ имеет единственное решение.

19. Известно, что $a_1,a_2,...,a_n,...$ и $b_1,b_2,...,b_n,...$ - две бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел (разности прогрессий могут равняться нулю). Обозначим через $A_n$ сумму первых $n$ членов первой из этих прогрессий, а через $B_n$ - сумму первых $n$ членов второй из них.
а) Могут ли одновременно выполняться равенства $A_2=4B_2$ и $A_4=10B_4$ ?
б) Могут ли одновременно выполняться равенства $A_2=6B_2$ и $A_4=2B_4$ ?
в) Какой наименьшее значение может принимать число $k$ , если $A_2=5B_2$ , $A_4=3B_4$ и $A_5=kB_5$ ?