III Олимпиада по криптографии и математике

список всех олимпиад по криптографии и математике

Задача 3.1. 

Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими.

Задача 3.2.  

www.itmathrepetitor.ru Шифрпреобразование простой замены в алфавите A = $\{a_1,a_2,...,a_n\}$, состоящем из $n$ различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита A. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

Задача 3.3. 

Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (-) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются символы, стоящие на четных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем - символы, стоящие на нечетных местах (также в порядке возрастания их номеров), начиная с первого. В пункте B полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:

восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ

Задача 3.4.

Дана последовательность чисел $C_1,C_2,...,C_n$ в которой $C_n$ есть последняя цифра числа $n^n$. Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

Задача 3.5. 

www.itmathrepetitor.ru Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (-) между словами, преобразуется в цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр согласно следующей таблице:

Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок последовательности из задачи 3.4, начинающийся с некоторого члена $C_k$. При зашифровании каждая цифра сообщения складывается с соответствующей цифрой отрезка и заменяется последней цифрой полученной суммы. Восстановите сообщение:
2339867216458160670617315588

Задача 3.6.

Равносторонний треугольник ABC разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что PK перпендикулярно MQ и NL перпендикулярно MQ. В каком отношении точки P и Q делят сторону AC, если известно, что из этих частей можно составить квадрат?

список всех олимпиад по криптографии и математике