Демонстрационный вариант 

Итоговая работа по математике

10 класс, 2015 год, углубленный уровень

Условия задач, ответы и решения

Инструкция по выполнению работы
На выполнение итоговой работы по математике даётся 90 минут. Работа включает в себя 12 заданий и состоит из двух частей. В заданиях первой части (1–8) запишите ответ в отведённом для него месте на листе с заданиями, а затем перенесите его в бланк. В заданиях второй части (9–12) требуется записать решение и ответ в специально отведённом для этого поле.
Каждое из заданий 5 и 10 представлено в двух вариантах, из которых надо выбрать и выполнить только один. При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. При необходимости можно пользоваться черновиком. Записи в черновике проверяться и оцениваться не будут.
Выполнять задания можно в любом порядке, главное – правильно решить как можно больше заданий. Советуем Вам для экономии времени пропускать задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, можно будет вернуться к пропущенным заданиям. Обязательно проверьте в конце работы, что все ответы к заданиям первой части перенесены в бланк!
Желаем успеха!

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа или десятичной дроби

1. Используя рисунок, найдите $\cos^2 (\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha)$. Решение

2. На рисунке изображен график функции $f(x)=\cos(ax-b)$. Найдите $f(50)$  Решение

3. На одной из граней двугранного угла величиной 30^o взята точка, находящаяся на расстоянии 12 от другой грани данного двугранного угла. Найдите расстояние от указанной точки до ребра этого двугранного угла. Решение

4. Выберите верные утверждения. Решение
1) Через любые две точки пространства можно провести бесконечно много плоскостей.
2) Через любые три различные точки пространства можно провести плоскость, и притом только одну.
3) Две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, параллельны друг другу.
4) Для любых двух различных плоскостей в пространстве найдутся две параллельные прямые, каждая из которых содержится ровно в одной из указанных плоскостей.
В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Выберите и выполните только одно из заданий 5.1 или 5.2

5.1. Найдите абсциссу точки графика функции $y=x^2-4x-12$, касательная к которой параллельна прямой, изображенной на рисунке. Решение

5.2. Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{\log_5{27}}{\log_59}+5^{-\log_{25}4}$ Решение

6. В университете итоговая отметка по десятибалльной системе за курс высшей математики вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется значение выражения 0,3K+0,3Д+0,4Э, где К — отметка за контрольную работу, Д — за домашнюю работу, а Э — за экзамен. Числа К, Д и Э – целые от 0 до 10. Затем полученное значение округляется до ближайшего целого числа, при этом пять десятых округляются в бóльшую сторону. Студент получил за контрольную работу 4, а за домашнюю работу — 8. Какая минимальная отметка за экзамен обеспечит ему итоговую отметку не меньше чем 6 баллов? Решение

7. При печати в типографии 10% журналов имеют дефект. При контроле качества выявляют 80% дефектных журналов. Остальные журналы поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранный при покупке журнал не имеет дефектов. Ответ округлите до тысячных. Решение

8. В системе координат схематично изобразите график непрерывной функции, которая обладает следующими свойствами:
1) область определения функции — отрезок [-6; 6];
2) функция чётная;
3) на промежутке [-2; 0] функция убывает;
4) функция имеет ровно пять нулей. Решение

Часть 2

В заданиях 9-12 запишите решение и ответ в отведенном для них поле

9. а) Решите уравнение $2\cos^3 x-\cos^2 x-\cos x=0$. Решение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$.

Выберите и выполните только одно из заданий 10.1 или 10.2

10.1 Исследуйте функцию $y=\displaystyle\frac{x^2+4x+25}{x}$ на монотонность и экстремумы. Решение

10.2  Решите неравенство $\log_2^2(3-x)+\log_2(x-3)^2<8$ Решение

11. В треугольнике АВС, один из углов которого равен 40^o, проведены высоты АA₁  и CC₁. Прямые AC и A₁C₁ параллельны. Чему могут быть равны другие углы треугольника? Решение

12. Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 8, либо в 5 раз. Сумма всех членов последовательности равна 141.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности?

смотрите еще Итоговая работа 10 класс (базовый уровень)  и  Пробный вариант 2015 по математике

Ответы

1. 0,9
2. 1
3. 24
4. 14 или 41
5.1 1
5.2 2
6. 5
7. 0,978
8.  Например, 
9. а) $2\pi n, \pi/2+\pi n, \pm 2\pi/3+\pi n, n \in Z$ б) $-2\pi, -3\pi/2; -4\pi/3$
10.1 Функция возрастает на $(-\infty; -5]$ и $[5; +\infty)$, убывает на $[-5;0)$ и $(0;5]$, $x_{max}=-5, y_{max}=-6$, $x_{min}=5, y_{min}=14$
10.2 $(-1; 47/16)$
11. $70^o,70^o$ или $40^o,100^o$
12. а) 3 б) 45