Задачи по комбинаторике

Задачи 101-150 с ответами

содержание задачника

101. Сколькими способами можно переставить буквы слова «опоссум» так, чтобы буква «п» шла непосредственно после буквы «о»?
102. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
103. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
104. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «фацетия» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
105. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?
106. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные буквы?
107. Сколькими способами можно переставить буквы слова «логарифм» так, чтобы второе, четвертое и шестое места были заняты согласными буквами?
108. Сколькими способами можно выбрать из слова «логарифм» две согласных и одну гласную букву? Так же задача, если среди выбранных букв есть буква «ф»?
109. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом?
110. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы две буквы «о» не стояли рядом?
111. Сколькими различными способами можно выбрать несколько букв из фразы «Око за око, зуб за зуб»? Порядок букв не учитывается.
112. Сколькими способами можно выбрать из фразы «Око за око, зуб за зуб» три буквы?
113. Сколькими способами можно выбрать из фразы «Око за око, зуб за зуб» три буквы, если учитывать порядок выбранных букв?
114. Сколькими способами можно переставлять буквы слова «пастухи» так, чтобы как гласные, так и согласные шли в алфавитном порядке?
115. Сколькими способами можно переставить буквы слова «кофеварка» так, чтобы гласные и согласные буквы чередовались? То же самое для слова «самовар».
116. Сколькими способами можно переставить буквы слова  «Абакан» так, чтобы согласные шли в алфавитном порядке? Тот же вопрос при дополнительном условии, что две буквы «а» не идут подряд.
117. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «тик-так» так, чтобы одинаковые буквы не шли друг за другом? Тот же вопрос для слова «тартар».
118. Сколькими способами можно выбрать 4 буквы из слова «тартар», если не учитывать порядка выбранных букв? Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 132 132?
119. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших чем миллион, содержат все цифры 1, 2, 3, 4? Сколько чисел состоит только из этих цифр?
120. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.
121. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 2, 5.
122. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 3, 3, 3.
123. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 1, 4, 4.
124. Найти сумму всех пятизначных чисел, которые можно получить путем перестановок цифр 0, 1, 2, 3, 4. Цифра 0 не должна быть первой.
125. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 8 и 9?
126. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 7, 8, 9?
127. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 9, 8, 0 (записи, начинающиеся с нуля, считаются недопустимыми).
128. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4.
129. Найти сумму всех возможных пятизначных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и в которых каждая цифра повторяется один и только один раз. Та же задача для пятизначных чисел, которые можно написать цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
130. Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую цифру можно использовать не более одного раза)? А четных?
131. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три — нечетные?
132. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три — нечетные, если допускаются и «шестизначные» числа, начинающиеся с нуля?
133. Сколько имеется шестизначных чисел, у которых сумма цифр четная (первая цифра предполагается отличной от нуля)? Та же задача, если берут все числа от 1 до 999 999.
134. Сколько имеется десятизначных чисел, у которых сумма цифр равна трем (первая цифра предполагается отличной от нуля)?
     Та же задача, но берут все числа от 1 до 9 999 999 999.
135. Сколько имеется девятизначных чисел, у которых все цифры различные?
136. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
137. Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?
138. Во сколько чисел от 0 до 999 входит цифра 9? Во сколько чисел она входит дважды? Во сколько чисел входит цифра 0? Во сколько чисел она входит дважды? Во сколько чисел входят цифры 0 и 9? Цифры 8 и 9? Сколько есть чисел от 0 до 999 999, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры?
139. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123 153?
140. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12 335 233?
141. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр числа 1233 145 254 так, чтобы две одинаковые цифры не шли друг за другом?
142. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 12 312 343 так, чтобы три цифры 3 не шли друг за другом?
143. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 341234 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?
144. Cколькими способами можно переставить цифры числа 12 345 254 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?
145. Сколькими способами можно переставить цифры числа 1 234 114 546 так, чтобы три одинаковые цифры не шли друг за другом?
146. Сколькими способами можно это сделать так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?
147. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной?
148. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была четной?
149. Из Лондона в Брайтон ведут 2 шоссе, соединяемых 10 проселочными дорогами. Сколькими способами можно проехать из Лондона в Брайтон так, чтобы дорога не пересекала себя? 
150. Пусть условии задачи 150 два путешественника выезжают из Лондона по разным шоссе. Сколькими способами может произойти путешествие так, что ни один участок шоссе они не проезжают в одном и том же направлении?

Ответы

101. 360
102. $P(3,2,2,1,1,1,1)\cdot C_{12}^7$
103. 720
104. 210
105. 277200
106. 144
107. 7200
108. 30; 12
109. 96
110. 24
111. 2025
112. 52
113. 212
114. $C_7^3$
115. 720; 72
116. 20; 4
117. 84; 30
118. 6; 54
119. 5460
120. 66660
121. 33330
122. 11110
123. 16665
124. 2559980
125. 126
126. 1092
127. 728
128. 17760
129. 839991600
130. 12
131. 281250
132. 312500
133. 499999
134. 340
135. \(9\cdot 9\)
136. 686
137. 228
138. 597871
139. 102
140. 255
141. 4020
142. 416
143. 864
144. 2220
145. 88080
146. 20040
147. 100
148. 2030
149. 2048
150. 1024