Комбинаторика. Задачи 51-100

Задачи по комбинаторике

Задачи 51-100 с ответами

содержание задачника

  1. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?
  2. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?
  3. Поезду, в котором находится n пассажиров, предстоит сделать m остановок. Сколькими способами могут распределиться пассажиры между этими остановками? Та же задача, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на данной остановке.
  4. Сколько можно сделать перестановок из n элементов, в которых данные два элемента a и b не стоят рядом? Данные три элемента а, b, с не стоят рядом (в любом порядке)? Никакие два из элементов а, b, с не стоят рядом?
  5. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев соревнования победитель будет определен?
  6. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?
  7. Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок разных размеров (надо использовать все 7 бусинок)?
  8. Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых бусинок и двух большего размера?
  9. В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы.
  10. Компания из семи юношей и десяти девушек танцует. Если в каком-то танце участвуют все юноши, то сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце? Сколько имеется вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашенными? Решить те же вопросы, если относительно двух девушек можно с уверенностью сказать, что они будут приглашены на танец.
  11. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Та же задача, если в отряд должен войти командир роты и старший из сержантов.
  12. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
  13. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько имеется комбинаций для выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных были и куры, и утки, и гуси?
  14. Сколькими способами можно разбить m + n + р предметов на три группы так, чтобы в одной было m, в другой n, а в третьей p предметов?
  15. На полке находятся n + m различных книг, из которых m в черных переплетах, а n в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при которых книги в черных переплетах занимают первые m мест? Сколько положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?
  16. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек группу людей для работы? В группу могут входить 1, 2, 3, ..., 15 человек. Та же задача для случая выбора из n человек.
  17. Пусть p_1, p_2, ..., p_n - различные простые числа. Сколько делителей имеет число q=p_1^{\alpha_1}\cdot ...\cdot p_n^{\alpha_n}, где \alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_n - некоторые натуральные числа (включая делители 1 и q)? Чему равна их сумма?
  18. Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти различным пакетам, если ни одни из пакетов не должен быть пустым?
  19. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?
  20. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?
  21. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение?
  22. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?
  23. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только одни раз?
  24. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
  25. Сколько различных браслетов можно сделать из пяти одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?
  26. Сколькими способами можно нз тех же камней выбрать три камня для кольца?
  27. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?
  28. У мужа 12 знакомых — 5 женщин и 7 мужчин, а у жены — 7 женщин и 5 мужчин. Сколькими способами можно составить компанию из 6 мужчин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж и 6 — жена?
  29. На каждом борту лодки сидят но 4 человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причем 10 человек хотят сидеть на левом борту лодки, 12 — на правом, а для 9 безразлично, где сидеть?
  30. В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, ..., 10. Из нее вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9?
  31. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащие 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?
  32. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора?
  33. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?
  34. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В городе есть три завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики (туда приглашают женщин) и две фабрики, где требуются и мужчины, и женщины. Сколькими способами могут они распределиться между, этими предприятиями?
  35. Сколько слов, содержащих по пяти букв каждое, можно составить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», не допускаются?
  36. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек и никому не дают двух книг сразу? Та же задача, если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги.
  37. Берутся домино от (0;0) до (n,n). Показать, что число домино с суммой очков n-r равно числу домино с суммой очков n+r и это число равно \frac{1}{4}(2n-2r+3). Найти общее число всех домино.
  38. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?
  39. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей шестерку для запряжки так, чтобы вошли 3 лошади из шестерки  АВСА'В'С', но ни одна из пар АА', ВВ', СC'?
  40. Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных? Во скольких из этих слов никакие 2 согласные не стоят рядом?
  41. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Шестеро читают английским, шестеро — немецкий, семеро — французский. Четверо знают английский и немецкий, трое — немецкий и французский, двое — французский и английский. Один человек знает все три языка. Сколько человек работают в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Только французский?
  42. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром — 38 человек, с ветчиной — 42 человека, и с сыром и с колбасой — 28 человек, и с колбасой и с ветчиной — 31 человек, и с сыром и с ветчиной — 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
  43. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно разбить их так, чтобы в каждой лодке оказались двое мужчин и двое женщин?
  44. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Во скольких случаях данный мужчина окажется в одной лодке со своей женой?
  45. Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки. Во скольких случаях данные двое мужчин окажутся в одной лодке со своими женами?
  46. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?
  47. Найти количество шестизначных чисел таких, что сумма трехзначного числа, образованного первыми тремя цифрами, и трехзначного числа, образованного последними тремя цифрами, меньше 1000.
  48. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
  49. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?
  50. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы четыре буквы «е» не шли подряд?

Ответы

  1. 371
  2. 125
  3. m^n; C_{m+n-1}^{m-1}
  4. \(n!-2(n-1)!; n!-6(n-2)!; n!-6(n-1)!+6(n-2)\)
  5. 1000
  6. 81
  7. 360
  8. 3
  9. -
  10. 604800; 120; 282240
  11. C_{3}^{1}C_{6}^{2}C_{60}^{20}; C_{5}^{1}C_{60}^{20}
  12. 17417400
  13. 315
  14. \frac{(m+n+p)!}{m!n!p!}
  15. \(m!(n+1)\)
  16. 32767; 2^n-1
  17. (\alpha_1+1)\cdot ...\cdot(\alpha_n+1); \displaystyle\frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot ...\cdot\frac{p_{n}^{\alpha_n+1}-1}{p_n-1}
  18. 330
  19. \frac{24!}{4!}
  20. 6720
  21. 46376
  22. 519156
  23. \displaystyle\frac{32!C_{31}^5}{6!}
  24. C_{17}^{12}-C_{15}^{10}
  25. \displaystyle\frac{18!}{36\cdot 5!6!7!}
  26. 10
  27. 172800
  28. 267148
  29. \sum_{k=0}^{4}C_9^kC_{10}^{4-k}C_{21-k}^4
  30. 116
  31. 304\cdot 13^4
  32. 9129120
  33. \(20\)
  34. 2000
  35. 34503008
  36. C_{20}^3C_{20}^2C_{20}^1
  37. C_{n+1}^2
  38. 10082
  39. 691200
  40. 3!4!C_9^4C_7^3
  41. 11; 1; 3
  42. 25
  43. \frac{(10!)^2}{2^{10}\cdot 5!}
  44. \frac{(9!)^2}{4!\cdot 2^8}
  45. \frac{17\cdot (8!)^2}{4!\cdot 2^8}
  46. 2058
  47. 405450
  48. C_{32}^{12}C_{20}^{12}
  49. 120
  50. 1560


Смотрите:

  1. Задачи по комбинаторике с решениями
  2. Комбинаторика. Задачи 1-50
  3. Задачи по школьной математике. Высота, медиана и биссектриса треугольника
  4. Задачи по школьной математике. Логарифмические уравнения II

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *