Олимпиада Лицея БГУ 2003 г по математике

Первый тур

Время работы 3 часа 30 мин

1. Словами  ЭВКАЛИПТ и БАОБАБ зашифрованы некоторые два натуральных числа, при этом каждая буква обозначает некоторую цифру из обоих чисел, причем разные буквы обозначают разные цифры. Определите (с обоснованием), какую цифру обозначает буква О, если известно, что число, зашифрованное словом ЭВКАЛИПТ, делится на 9, а число, зашифрованное словом БАОБАБ, делится на 5.
2. Пусть К – точка касания вписанной окружности треугольника АВС со стороной АВ. При этом отрезок СК делится вписанной окружностью пополам. Известно, что треугольник АВС равнобедренный. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 12.
3. Однажды Красная Шапочка, захватив гостинец с несколькими пирожками, отправилась в гости к бабушке. Отойдя недалеко от дома, она, не удержавшись, съела три самых больших пирожка, от чего общий вес гостинца уменьшился на 35%. Немного не дойдя до бабушкиного дома, она опять не удержалась и съела на этот раз три самых маленьких пирожка. В результате общий вес гостинца уменьшился еще на 5/13 по сравнению с предыдущим. Сколько пирожков было в гостинце изначально?
4. Вычислите значение суммы $\displaystyle\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}$, если известно, что $abc\ne 0$, $\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=4$ и $\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=5$.
5. На координатной плоскости расположен прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С, все вершины которого принадлежат параболе $y=x^2$. При этом сторона АВ параллельна оси абсцисс, а вершина С лежит ниже прямой АВ. Высота СН разбивает треугольник АВС на два меньших треугольника. Найдите произведение площадей этих треугольников.

Ответы

1. 4
2. 8 или 18
3. 10
4. 7
5. 0,25

другие олимпиады