Диагностическая работа по подготовке к ОГЭ март 2015

9 класс, 10 марта 2015 г
(аналог реального варианта)

Читаем внимательно: в ВК и на других сайтах стал доступен файл с реальными условиями задач диагностической работы по подготовке к ОГЭ по математике (10 марта 2015 года, 9 класс). Общее время работы - 235 минут. Всего 26 заданий (20 заданий базового уровня, 4 задания повышенного уровня и 2 задания высокого уровня). Но суть не в этом.

А в том, что в файле прописана фраза: "Публикация в Интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена". И так как разрешения  публиковать эти задачи у меня нет, то я поступлю следующим образом. Придумаю похожие задачи - и расскажу решения. А в качестве тренировки советую параллельно перешивать реальные задачи.

Что значит похожие задачи? Пример: если бы реальная задача выглядела так: "Решить уравнение $2x-3=4$", то моя похожая задача была бы такой: "Решить уравнение $3x-1=5$". Как видите, суть не поменялась, зато авторские права не нарушены (все-таки решения полностью мои, а только условия задач похожи). Итак, приступим.

Часть 1

1.  Найдите значение выражения $(7\cdot 10^3)^2\cdot(11\cdot 10^{-6})$

Решение: так как $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ и $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$, то $(7\cdot 10^3)^2=7^2\cdot (10^3)^2=7^2\cdot 10^6$. И так как $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$, то $10^6\cdot 10^{-6}=10^0=1$. Тогда ответ равен $7^2\cdot 11= 539$. Полезно пройти тест на арифметические выражения или потренироваться в игре.

2. Какое из неравенств $x-y>7$, $x-y<-3$, $y-x>-5$ и $y-x<-11$ верно для любых $x$ и $y$ таких, что $x<y$?

Решение:  $x<y$. Значит, $0<y-x$, то есть $y-x>0$. Но если разность $y-x$ всегда больше нуля, то она же всегда больше и любого отрицательного числа. Например, $y-x>0>-5$. То есть для ответа подходит неравенство $y-x>-5$ из предложенных. Возможно, есть еще подходящее (хотя в ответе вопрос стоит о единственном неравенстве ("какое")) неравенство из оставшихся. Для строгости, подберем контрпримеры пар x,y, таких, чтобы $x<y$, но неравенство не выполнялось.  Например, неравенству $x-y>7$ противоречит x = 1, y = 2. Аналогично отсеиваем остальные.

3. Указать из чисел $\sqrt{11}\cdot\sqrt{7}$, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{70}}$, $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$, $\sqrt{27}-4\sqrt{3}$ рациональное число.

Решение: наличие в выражении знака радикала (квадратного корня) не дает права говорить о иррациональности числа, ведь выражение можно упростить. Для решения такого типа задач неплохо бы помнить формулы сокращенного умножения (в частности, разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$), свойства квадратного корня: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ и другие.

Попробуем упростить каждое выражение. $\sqrt{11}\cdot\sqrt{7}$ = $\sqrt{77}$, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{70}}$=$\sqrt{\frac{5}{7}}$, $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$=$\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2=5-2=3$ и$\sqrt{27}-4\sqrt{3}$=$3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=-\sqrt{3}$. То есть ответом является число $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

4. В разложении квадратного трехчлена $2x^2-7x-4=2(x+p)(x-4)$ найдите $p$.

Решение: способов несколько. Можно раскрыть в правой части скобки: $2x^2+2px-8x-8p$. И так как по условию дано тождество, то есть равенство выполняется при любых значениях $x$, то свободный член в левой части (это -4) равен свободному члену в правой части (это -8p). Получаем уравнение относительно $p$:  $-4=-8p$, откуда $p=0,5$.

5. В этой задаче необходимо было установить соответствие между графиками функций и их уравнениями. Все функции линейные. Потому предложу такую задачу: дан график функции (смотрите рисунок), определить уравнение прямой. 

Решение: уравнение прямой имеет вид $y=kx+b$, если прямая не параллельна оси ординат. Выберем две точки по рисунку, которые принадлежат прямой. Например, x = 0, y = -4 и x=2, y = 0. Естественно, точки стоит выбирать наиболее простые (нулевые значения, целые значения). Подставим первую точку в уравнение: $-4=k\cdot 0+b$, откуда $b=-4$. То есть уже уравнение прямой имеет вид $y=kx-4$. Подставим вторую точку: $0 = k\cdot 2 -4$. Откуда $k=2$. Значит, уравнение прямой: $y=2x-4$.

6. В арифметической прогрессии $(a_n)$ найдите $a_{10}$, если $a_4=12$ и разность равна $2$.

Решение: вспомним формулу общего члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+d(n-1)$. Тогда $a_4=a_1+3d$, то есть $12=a_1+6$, откуда $a_1=6$. Поэтому $a_{10}=6+2\cdot 9 =24$. По прогрессиям необходимо знать этот материал.

7. Найдите значение выражения $(\frac{2}{3k}+\frac{1}{9k}):\frac{14}{k^2}$ при $k=3,6$.

Решение: в таких задачах есть два варианта действий. Или сначала упростить выражение, а затем подставить значение переменной, или сначала подставить, а затем осуществить арифметические действия. Какой способ лучше? Зависит от задачи. В данной задаче сначала упростим: $\frac{7}{9k}\cdot \frac{k^2}{14} = \frac{k}{18}$ (в скобках дроби привели к общему знаменателю, деление на дробь заменили на умножение на "перевертыш" дроби). Подставляем значение $k=3,6$, получаем $\frac{1}{5}$. Можно пройти небольшой тест на преобразование выражений

8. Решите неравенство $10-5x<4(x-1)-4$

Решение: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые $10-5x<4x-4-4 \Leftrightarrow 10-5x<4x-8$. Далее слагаемые с $x$ перенесем в левую часть, а числа - в правую часть. При этом знак переносимых слагаемых меняется на противоположный: $-5x-4x<-8-10 \Leftrightarrow -9x<-18$. Далее разделим левую и правую части неравенства на $-9$. Так как это число отрицательное, знак неравенства меняем на противоположный (и это важно!): $x>2 \Leftrightarrow x\in (2; +\infty)$

9. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 40, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $6\sqrt{39}$. Найдите тангенс угла CAB.

Решение: В такой конструкции (прямоугольный треугольник с высотой к гипотенузе) есть много полезных формул (как минимум, шесть, которые необходимо знать). Кстати, полезно хотя бы один раз прочитать основные сведения планиметрии. Но в данной задаче все намного проще: рассмотрим треугольник ACH. Так как он прямоугольный, то тангенс угла CAB равен $\frac{CH}{AH}$. Длина CH известна по условию, а AH найдем по теореме Пифагора из треугольника ACH:  $AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{1600-1404}=14$. Ответ: $\frac{3\sqrt{39}}{7}$

10. Сторона АС треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности. Найдите угол АСВ, если угол ВАС равен 44^o.

Решение: понадобится два факта. Первый: вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90^о. Значит, угол ВАС - прямой и треугольник АВС прямоугольный (ведь АС - диаметр по условию). Второй факт: сумма углов треугольника равна 180^o. Тогда угол АСB равен 180^o - 90^o - 44^o = 46^o.

11. Основания трапеции равны 10 и 20. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите меньший из них.

Решение: диагональ делит трапецию на два треугольника. И средняя линия трапеции состоит из двух средних линий этих треугольников. То есть 5 и 10 - длины отрезков. Ответ: 5.

13. Какое из утверждений верно? 1) Четырехугольник, в котором хотя бы две стороны параллельны, является трапецией. 2) Основания трапеции либо параллельны, либо перпендикулярны. 3) Сумма углов любого треугольника не может быть более 180 градусов. 4) Около любого четырехугольника, противоположные стороны которого параллельны, можно описать окружность.

Ответ: 1) Нет. Например, квадрат не является трапецией, так как у трапеции по определению должны быть только две параллельные стороны. 2) Нет. Только параллельны (на то они и названы основаниями).3) Да. Сумма всегда равна 180 градусам, а 180 не превосходит 180. 4) Нет. Параллелограмм с острым углом тому пример. Стоит помнить признак: сумма противоположных углов равна 180, тогда описанная окружность для такого четырехугольника существует. Это даже не признак, а критерий. То есть обратное утверждение тоже верно (попробуйте сформулировать).

14. Площадь поверхности инопланетного предмета равна 3940 млн км². Как эта площадь записывается в стандартном виде? 1) $3,940\cdot 10^6$ км² 2) $3,940\cdot 10^7$ км²  3)  $3,940\cdot 10^8$ км²  4) $3,940\cdot 10^9$ км²

Решение: здесь вспоминаем, что 1 млн = 1 000 000 = $10^6$ и $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$. Тогда $3940 \cdot 10^6$=$3,940\cdot 10^{3}\cdot 10^6 = 3,940\cdot 10^9$. Ответ под номером 4.

16. На распродаже телевизор уценили на 64% и новая цена оказалась равной 3240 руб. Какова первоначальная цена (в руб) телевизора?

Решение: важная тема "проценты", потому что и в жизни на каждом шагу, и в математике в любом разделе в любой задаче можно включить в условие. Для решения можно вспомнить простую формулу $a(1-\frac{p}{100})=b$, где $a$ - начальная цена, $b$ - конечная цена, $p$ - количество процентов (при уменьшении, если бы было увеличение цены, то в формуле минус заменили бы на плюс). Эта формула - фрагмент из формулы сложных процентов (самой важной, и, наверное, единственной формулы темы "Проценты" в школьном курсе математики). Кстати, задачи на проценты здесь.

Итак, подставляем данные задачи в формулу и находим $a$:  $a(1-\frac{64}{100})=3240$. Дальше сократим дробь, выполним вычитание, а затем и деление. Ответ: 9000

19. В ящике 30 шариков, из них 14 красных, 10 синих, остальные - зеленые. Из ящика достают один шарик случайным образом. Какова вероятность, что шарик не будет зеленым.

Решение: 1 способ: найти вероятность, что шарик именно зеленый. А затем от 1 отнять эту вероятность. То есть мы перейдем к вероятности противоположного события "шарик не зеленый". Вероятность того, что шарик зеленый, равна $\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$ (в знаменателе количество способов достать один шарик любого цвета, в числителе количество способ достать шарик именно зеленого цвета). Тогда ответ равен $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

Второй способ: если шарик не зеленый, то или красный, или синий. Эти два события не могут наступить одновременно (то есть они несовместные), тогда их вероятности можно сложить - и это будет вероятность того, что шарик не является зеленым. Вероятность, что шарик окажется красным: $\frac{14}{30}$, синим: $\frac{10}{30}$. Тогда ответ равен $\frac{14+10}{30}=\frac{4}{5}$.

Хм, способы разные, а ответы получились одинаковыми. Видимо, где-то ошибка )). Для закрепления решите несколько первых задач отсюда (решения к ним приведены)

Часть 2

21. Решите уравнение $x^3-12x^2-x+12=0$.

Решение: можно угадать (подобрать) корень $k$, а затем перейти к квадратному уравнению путем деления столбиком (или, говорят, уголком) левой части на $x-k$. Но этот метод несколько сложен (для многих похож на магию) и потенциально опасен арифметическими ошибками, потому поступим проще: методом группировки разложим левую часть на множители. То есть получим произведение скобок, равное нулю. Откуда вывод: хотя бы одна из скобок равна нулю, то есть уравнение распадется на более простые уравнения. Приступаем:

$(x^3-x)-12(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x(x^2-1)-12(x^2-1)=0 \Leftrightarrow (x-12)(x^2-1)=0$ $\Leftrightarrow (x-12)(x-1)(x+1)=0$. Здесь пригодилась формула разности квадратов. Значит, $x-12=0$ или $x-1=0$ или $x+1=0$. Ответ: 12, 1, -1.

22. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 40 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 186 км, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч, скорость второго — 14 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение: переведем 40 минут в часы. Это $\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$ ч. Пусть первый велосипедист выехал из города А, а второй - из города В. Место встречи - точка С. Так как они выехали одновременно, то время, потраченное первым от А до С равно времени, потраченному вторым на ВС. Время второго равно $\frac{BC}{14}$, время первого - это время движения плюс время остановки: $\frac{186-BC}{12}+\frac{2}{3}$. Приравниваем и приходим к уравнению с одной неизвестной $BC$. А именно: $\frac{BC}{14}=\frac{186-BC}{12}+\frac{2}{3}$, откуда $6BC=7(186-BC)+56$ и $BC=\frac{1358}{13}$ км. Число нецелое, ибо числа в условии придуманы наугад.

23. Постройте график функции $y=4+\frac{2-x}{2x-x^2}$ и определите, при каких значениях параметра $p$ прямая $y=p$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение: многие первым делом упрощают функцию до вида $y=4+\frac{1}{x}$. И это правильно. Однако, при сокращении дроби на множитель $2-x$ изменяется область определения функции. То есть теперь перед нами новая функция с другим графиком - отличие лишь в одной точке $x=2$. На исходном графике она должна быть выколотой, а новом графике она будет закрашенной. Поэтому еще к формуле $y=4+\frac{1}{x}$ добавляем ограничение $x\ne 2$ (что очень важно). Теперь про исходную функцию можно забыть, и работать только с новой. Графиком данной функции является гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещенная на 4 единицы вверх вдоль оси ординат и с выколотой точкой (2; 9/2). Смотрите справочник по построению элементарных функций.

Решим вторую часть задачи. Для этого рассмотрим уравнение $p = 4+\frac{1}{x}$ с условием, что $x\ne 2$. Это уравнение не должно иметь корней, иначе графики будут пересекаться.Из уравнения следует, что $(p-4)x=1$ и $x\ne 0, x\ne 2$. Значит, при $p=4$ корней нет. Если же $p\ne 4$, то  $x=\frac{1}{p-4}$ должен быть равен 0 или 2, чтобы в итоге не пройти проверку и не оказаться корнем. Значит, еще $p=\frac{9}{2}$.

Ответ: $4; \frac{9}{2}$

25. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО, если площадь треугольника COD равна 10.

Решение: докажем, что площади треугольников АВО и COD равны. У треугольников ABD и ACD одинаковое основание AD и равные высоты, проведенные к этому основанию (так как эти высоты являются высотами трапеции). Тогда площади треугольников ABD и ACD равны. Но эти треугольники содержат общий треугольник AOD. Значит, если от площади каждого отнять площадь этого треугольника, то получим равные остатки, а это и есть площади треугольников ABO и COD.

Ответ: 10

26. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана BD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 192. Найдите периметр треугольника.

Решение: найдем стороны треугольника. Пусть AD и BE пересекаются в точке О. Заметим, что в треугольнике ABD высота BO является биссектрисой. Значит, треугольник  ABD равнобедренный и AO равно OD. Далее самым важный момент в решении: проведем через точку D прямую параллельно BE до пересечения с AC в точке К. Тогда DK - средняя линия треугольника BEC и DK = 96. И еще АЕ = ЕК = КС. Из треугольника ADK по теореме Пифагора находим AK. Откуда AC становится также известно. И из треугольника AOE находим EO опять по теореме Пифагора. После чего остается найти AB из треугольника ABO. Таким образом, все стороны становятся известными.