Как решать неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$ , где $a\ne 0$ . Если $b=0$ или $c=0$ , то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай $b=0$

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2+c=0$ , где $a\ne 0$ .

. $2x^2+3=0$ .

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях $x$ положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

. $x^2=-4$ .

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых $x$ таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

. $x^2=0$ .

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

. $x^2=4$ .

Типичной ошибкой является ответ $x=2$ . На самом деле $x=\pm\sqrt{4}=\pm 2$ . То есть уравнение имеет два корня. Ответ: $\pm 2$

. $2x^2-3=0$ .

Перенесем число $-3$ в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда $2x^2=3$ $\Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{3}{2}$ . Откуда $x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}$ . Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: $\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

. $x^2=2\sqrt{2}-3$ .

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число $2\sqrt{2}-3<0$ , так как $2\sqrt{2}<3\Leftrightarrow 8<9$ , поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что $x=\pm\sqrt{2\sqrt{2}-3}$ , ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае $b=0$ сначала упрощаем уравнение к виду $x^2=d$ , затем определяем знак числа $d$ . Если $d<0$ , то корней нет. Если $d=0$ , то $x=0$ . И если $d>0$ , то уравнение имеет два корня $x=\pm\sqrt{d}$ .

б) случай $c=0$

Уравнение имеет вид $ax^2+bx=0$ , где $a\ne 0$ .

. $2x^2-3x=0$ .

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части - произведение. Вынесем $x$ за скобки, тогда $x\cdot (2x-3)=0$ . Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому $x=0$ или $2x-3=0$ , откуда $x=0$ или $x=\displaystyle\frac{3}{2}$ . То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: $0;\displaystyle\frac{3}{2}$ .