Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Филологический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на филологический факультет. 

Филологический факультет МГУ, 2003 г.

  1. Решите уравнение \cos 4x=\cos^4 x-\sin^4 x.
  2. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l l} \cos y\cdot 3^{x^3+8}=27^{x^2+2x}\cdot |\cos y|,\\x^3-(a+3)x^2+3ax\leq 0\end{array}\right.
  3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырехугольника NBMD, если основание AC = 1.
  4. В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский  в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой. Каково минимально возможное количество студентов в одной группе?
  5. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2+(y-3a-b)^2<1/2 имеет хотя бы одно целочисленное решение (x; y).

Филологический факультет МГУ, 2004 г.

  1. При каких значениях параметра a уравнение x^2-x+\frac{3-a}{2a+1}=0 не имеет решений?
  2. Решите уравнение 2\sin^2 4x-5\sin (\frac{\pi}{2}-4x)+1=0.
  3. Решите уравнение (x-3)(x^2+2)=12-3^{x-1}-\frac{1}{3}\cdot (\sqrt{3})^{x+1}.
  4. Из точки M на плоскость \alpha опущен перпендикуляр MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30о . Угол между наклонными равен 60о. а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости \alpha построен прямоугольный треугольник ABC (угол А - прямой). Найдите объем пирамиды MABC, зная, что косинус угла BCM равен 3/4.
  5. Бюро переводов получило заказ на перевод трех текстов одинакового объема. Переводчица Сидорова на перевод первого и второго текстов в сумме потратила 1 час 21 минуту, а на перевод первого и третьего - 1 час 18 минут. Оказалось также, что второй текст она переводила с такой же скоростью, как в среднем первый и третий. За какое время был выполнен весь перевод?
  6. Дана система уравнений \left\{\begin{array}{l l} y=a|x-2a|,\\|x|=b+|y| \end{array}\right. а) При каких значениях параметров a и b эта система относительно неизвестных x и y имеет бесконечно много решений? б) На плоскости (x; y) изобразите множество точек, координаты которых таковы, что система относительно неизвестных a и b имеет ровно три решения.

Ответы

2003 г

  1. \pi n/3, n \in Z
  2. x=1, y=2\pi k; x=1/4, y=-\pi/2+2\pi m; x=4, y=\pi/2+2\pi n, k,m,n \in Z
  3. \angle A = \angle C = arctg 3, \angle B = \pi -2arctg 3; 1/4
  4. 28
  5. b \ne k/5, k \in Z

2004 г

  1. (-1/2; 11/6)
  2. \pm\pi/12+\pi n/2, n \in Z
  3. 3
  4. а)2\sqrt{3}; б) 6
  5. 1 ч 57 м
  6. а) (\pm 1; \pm 2); б) 0<y<x^2/8 при x>0 и -x^2/8<y<0 при x<0.