Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на филологический факультет.
Филологический факультет МГУ, 2003 г.
- Решите уравнение .
- Решите систему уравнений
- В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC и площадь четырехугольника NBMD, если основание AC = 1.
- В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой. Каково минимально возможное количество студентов в одной группе?
- Найдите все значения параметра , при каждом из которых для любого неравенство имеет хотя бы одно целочисленное решение .
Филологический факультет МГУ, 2004 г.
- При каких значениях параметра уравнение не имеет решений?
- Решите уравнение .
- Решите уравнение .
- Из точки M на плоскость опущен перпендикуляр MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30о . Угол между наклонными равен 60о. а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости построен прямоугольный треугольник ABC (угол А - прямой). Найдите объем пирамиды MABC, зная, что косинус угла BCM равен 3/4.
- Бюро переводов получило заказ на перевод трех текстов одинакового объема. Переводчица Сидорова на перевод первого и второго текстов в сумме потратила 1 час 21 минуту, а на перевод первого и третьего - 1 час 18 минут. Оказалось также, что второй текст она переводила с такой же скоростью, как в среднем первый и третий. За какое время был выполнен весь перевод?
- Дана система уравнений а) При каких значениях параметров и эта система относительно неизвестных и имеет бесконечно много решений? б) На плоскости изобразите множество точек, координаты которых таковы, что система относительно неизвестных и имеет ровно три решения.
Ответы
2003 г
- 28
2004 г
- (-1/2; 11/6)
- 3
- а); б) 6
- 1 ч 57 м
- а) ; б) при и при .