Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Географический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на географический факультет. 

Географический факультет МГУ, 2002 г.

  1. Решите уравнение |2x-1|=\frac{4}{2x-1}.
  2. Решите уравнение \frac{6\cos x - 2}{6\cos^2 x-11\cos x+3}=-1.
  3. Квадратное уравнение x^2-6px-2q=0 имеет два различных корня x_1 и x_2. Числа px_1x_2q - четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите x_1 и x_2.
  4. Тележка с передними колесами диаметром 40 см и задними колесами диаметром 50 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения с ней красятся. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, колеса не окрашивают. Тележка движется по направлению от точки А в сторону точки B. Найдите: а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками; б) количество окрашенных точек на отрезке AB.
  5. В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что угол KLM равен углу LNM, KM = 10. Найдите: а) сторону LM; б) угол LMK, если расстояние от точки M до центра описанной около треугольника KLN окружности равно 10.
  6. Решите систему \left\{\begin{array}{l l} x^3=4x+y,\\y^3=4y+x\end{array}\right..

Географический факультет МГУ, 2003 г.

  1. Разность девятого и третьего членов знакочередующейся геометрической прогрессии равна ее шестому члену, умноженному на 24/5. Найдите отношение десятого к пятому члену прогрессии.
  2. Решите неравенство \frac{6}{|x|}\geq 7+x.
  3. Непустое множество Х состоит из конечного числа N натуральных чисел. Четных чисел в Х меньше двух третей от N, а нечетных не больше 36% от N. Какое минимальное значение может принимать число N?
  4. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, перпендикулярны. Известно, что АС = 4, сумма углов CAB и DBA равна 75о. Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните ее с числом 2\sqrt{15}.
  5. При каких значениях параметра a уравнение (\sin x-\log_4{a})(\sin x-2+2a)=0 имеет ровно два корня на отрезке [\pi /2; 5\pi /2]?

Ответы

2002 г

  1. 3/2
  2. \pm\pi /3+2\pi n, n \in Z
  3. (6; -18), (-4; -8)
  4. a) 10\pi; б) 128
  5. а)5\sqrt{2}; б) \pi/4\pm arcsin(\sqrt{7}/4)
  6. (0;0), (\pm \sqrt{5};\pm \sqrt{5}), (\pm\sqrt{3}; \mp\sqrt{3}), ((\sqrt{6}+\sqrt{2})/2; (-\sqrt{6}+\sqrt{2})/2), ((-\sqrt{6}-\sqrt{2})/2;(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2), ((\sqrt{6}-\sqrt{2})/2; (-\sqrt{6}-\sqrt{2})/2), ((-\sqrt{6}+\sqrt{2})/2;(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2)

2003 г

  1. -5^{-5/3}
  2. x\leq 6, -1\leq x<0, 0<x\leq (\sqrt{73}-7)/2
  3. 14
  4. 2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1); меньше, чем 2\sqrt{15}
  5. 1/4<a<1/2, a=1, 3/2<a\leq 4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *