Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ. Высшая школа бизнеса. 

Высшая школа бизнеса МГУ, 2003 г.

1. Решите неравенство $\frac{\sqrt{(x+5)(x-3)}}{x+5}\leq 0$.
2. В банке общая сумма кредитов, выданная населению, составляет 25% от суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего объема кредитования в этом банке приходится на долю предприятий?
3. Решите уравнение $2ctg x\cdot |\sin x|+1=0$.
4. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} 5\log_{32}(x+y)+\log_{0,5}(3y-8)=0,\\x^2+2x+y^2+y=12\end{array}\right.$.
5. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если известны координаты двух его противоположных вершин А(-3; -6), C(5; 12) и точки N(1; 9), являющейся серединой стороны BC.
6. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению $2x^2=2y^2+3xy+7$.
7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине B равен 80^о, а точка M внутри треугольника расположена так, что угол MAC равен 30^о, а угол MCA равен 10^о. Найдите величину угла BMC.
8. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $25x^5+25(a-1)x^3-4(a-7)x=0$ имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Высшая школа бизнеса МГУ, 2004 г.

1. Решите неравенство $\frac{2-x}{|x+2|}\geq 1$.
2. Решите уравнение $\log_{0,5}(2\sin x)+\log_2(\sqrt{3}\cos x)=-1$.
3. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{y+2}=1,\\x-y=22\end{array}\right.$.
4. Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин K(-4; -3), L(2; 5) и точки P(5; 1), являющейся серединой стороны LM.
5. Сколько времени в течение суток на электронном табло вокзальных часов, которые показывают время в диапазоне от 00:00 до 23:59, присутствует хотя бы одна цифра 5?
6. Найдите все пары целых неотрицательных чисел $(m; n)$, являющихся решениями уравнения $2m^2+3m=2nm+n+41$.
7. Найдите наименьшее значение выражения $2x-4y$ на множестве переменных x, y, удовлетворяющих условию $4x^2+9y^2=36$.
8. Найдите все значения параметра  $a\in [-6;6]$, при которых неравенство $(a+3)((x+1)(a+2)+3x)>0$ выполняется при любых $x\geq 0$.

Ответы

2003 г

1. x<-5, x=3
2. 80%
3. $2\pi /3+\pi n, n \in Z$
4. x=-2, y=3
5. AB = 12, BC = 10
6. x=3, y=1; x=-3, y=-1
7. 70^o
8. -2

2004 г

1. $x<-2, -2<x\leq 0$
2. $\pi/3+2\pi n, n \in Z$
3. (28; 6), (-7; -29)
4. 32
5. 7 час 30 мин
6. (10; 9)
7. -10
8. $-6\leq a\leq -5, -2<a\leq 6$.