Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Высшая школа бизнеса

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ. Высшая школа бизнеса. 

Высшая школа бизнеса МГУ, 2003 г.

  1. Решите неравенство \frac{\sqrt{(x+5)(x-3)}}{x+5}\leq 0.
  2. В банке общая сумма кредитов, выданная населению, составляет 25% от суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего объема кредитования в этом банке приходится на долю предприятий?
  3. Решите уравнение 2ctg x\cdot |\sin x|+1=0.
  4. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l l} 5\log_{32}(x+y)+\log_{0,5}(3y-8)=0,\\x^2+2x+y^2+y=12\end{array}\right..
  5. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если известны координаты двух его противоположных вершин А(-3; -6), C(5; 12) и точки N(1; 9), являющейся серединой стороны BC.
  6. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению 2x^2=2y^2+3xy+7.
  7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине B равен 80о, а точка M внутри треугольника расположена так, что угол MAC равен 30о, а угол MCA равен 10о. Найдите величину угла BMC.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 25x^5+25(a-1)x^3-4(a-7)x=0 имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Высшая школа бизнеса МГУ, 2004 г.

  1. Решите неравенство \frac{2-x}{|x+2|}\geq 1.
  2. Решите уравнение \log_{0,5}(2\sin x)+\log_2(\sqrt{3}\cos x)=-1.
  3. Решите систему уравнений \left\{\begin{array}{l l} \sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{y+2}=1,\\x-y=22\end{array}\right..
  4. Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин K(-4; -3), L(2; 5) и точки P(5; 1), являющейся серединой стороны LM.
  5. Сколько времени в течение суток на электронном табло вокзальных часов, которые показывают время в диапазоне от 00:00 до 23:59, присутствует хотя бы одна цифра 5?
  6. Найдите все пары целых неотрицательных чисел (m; n), являющихся решениями уравнения 2m^2+3m=2nm+n+41.
  7. Найдите наименьшее значение выражения 2x-4y на множестве переменных x, y, удовлетворяющих условию 4x^2+9y^2=36.
  8. Найдите все значения параметра  a\in [-6;6], при которых неравенство (a+3)((x+1)(a+2)+3x)>0 выполняется при любых x\geq 0.

Ответы

2003 г

  1. x<-5, x=3
  2. 80%
  3. 2\pi /3+\pi n, n \in Z
  4. x=-2, y=3
  5. AB = 12, BC = 10
  6. x=3, y=1; x=-3, y=-1
  7. 70o
  8. -2

2004 г

  1. x<-2, -2<x\leq 0
  2. \pi/3+2\pi n, n \in Z
  3. (28; 6), (-7; -29)
  4. 32
  5. 7 час 30 мин
  6. (10; 9)
  7. -10
  8. -6\leq a\leq -5, -2<a\leq 6.