Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2008 г. по математике

Вариант 9

1. Решите уравнение $\sqrt{7-\sqrt{6}tg x}+\sqrt{7}\cos x=0$.
2. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x^2+xy-2y^8x+10y+12=0,\\y=x^2-y^2-7=0.\end{array}\right.$
3. Решите неравенство $\sqrt{\log_{x+10}(x^2-2x-8)}+\sqrt{\log_{x^2-2x-8}(x+10)^2}\leq 1+\sqrt{2}$.
4. Высота в равнобедренной трапеции ABCD равна 16, а ее диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиуса 3 с центром в точке О касается меньшего основания BC и боковой стороны CD трапеции. Найти основания трапеции.
5. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $|ax^2+3|=|2ax|+|3a|$ имеет хотя бы одно действительное решение.
6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, причем AB = 1, BC = 2. Пусть N - середина SB, M - середина SC, причем BN = MC = 3MN. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объем пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).

Вариант 13

1. Решите уравнение $\log_{\displaystyle{x}+\displaystyle\frac{1}{3}}\sqrt[3]{x^3+\frac{1}{3}}+\log_{\displaystyle{x^3}+\displaystyle\frac{1}{3}}(x+\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$.
2. Решите неравенство $\sqrt{\displaystyle\frac{8-\frac{x}{9}}{2-\frac{x}{4}}}\leq x-2$.
3. Решите уравнение $\displaystyle{\frac{tg x}{2}+\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\sin 3x}-\frac{ctg x}{2}}$.
4. В трапеции ABCD основания AD и BC равны $a$ и $b$ соответственно, угол BCD равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки B, C и D, касается прямой AB. Найти радиус этой окружности.
5. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{x^2+y^2-16x+64}+\sqrt{x^2+y^2+12y+36}=10,\\5x^2-8y^2=8.\end{array}\right.$
6. Грани ABC и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием AB. Известно, что AB = 1, CD = 2. Найти угол между прямыми AC и BD, расстояние между прямыми AC и BD и радиус сферы, описанной вокруг пирамиды ABCD.

Ответы

Вариант 9

1. $\pi+2\pi k; \pi+\frac{1}{2}\arcsin\frac{2\sqrt{6}}{7}+2\pi k; \frac{3\pi}{2}-\frac{1}{2}\arcsin\frac{2\sqrt{6}}{7}+2\pi k, k \in Z$
2. (-43/12; 29/12), (4;-3), (-8/3; 1/3)
3. $-\frac{54}{11}\leq x\leq -3, x\geq 6$
4. BC = 4, AD = 52/3
5. $a<0, a\geq \frac{3}{4}$
6. $R_{min}=\frac{18}{\sqrt{35}}, V = \frac{35}{51}\sqrt{\frac{1121}{35}}$

Вариант 13

1. $0; 1; \frac{1}{6}(\sqrt{\frac{35}{3}}-1)$
2. $\frac{16}{3}\leq x \geq\frac{20}{3}, x\geq 72$
3. $\frac{2\pi k}{7}, k \ne 7m, k \in Z, m \in Z$
4. $\frac{\sqrt{ab}}{2\sin\alpha}$
5. (4;-3)
6. $arccos\frac{1}{9}; \frac{2}{\sqrt{5}}; \frac{\sqrt{65}}{8}$