Математика. Варианты вступительных экзаменов в МГУ. Биологический факультет

Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на биологический факультет. 

Биологический факультет МГУ, 2000 г.

  1. Решите неравенство \frac{2-3x}{x+2}\leq 5.
  2. Решите уравнение 3\cos 2x+4+11\sin x=0.
  3. Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точке E - на стороне AC, причем AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.
  4. Решите неравенство \log_{4}(16(x-2)^2)\cdot\log_{\frac{1}{16}}^2\frac{(x-2)^2}{64}-\frac{5}{4}\log_{64}(x^3-6x^2+12x-8)^2<\frac{15}{2}.
  5. Внутри правильной треугольной призмы со стороной основания, равной a, лежат три шара одинакового радиуса, каждый из которых касается двух других шаров, двух боковых граней и обоих оснований призмы. Четвертый шар касается трех вышеупомянутых шаров и верхнего основания призмы. Найдите радиус четвертого шара.

Биологический факультет МГУ, 2001 г.

  1. Решите неравенство \frac{\sqrt{x^2+6x-55}}{x-5}\geq 0.
  2. Решите уравнение \cos(2x+\frac{\pi}{3})+\cos x=-\frac{1}{2}.
  3. Решите неравенство \displaystyle\frac{\log_3x-7}{\log_x3-3}\leq 2.
  4. По каждой из двух дорожек, имеющих форму окружностей одного радиуса, движется по одному мотоциклу. Они одновременно начали движение и едут с разными постоянными скоростями. Каждый мотоциклист проезжает дорожку за целое число минут. Известно, что не ранее, чем через 31 минуту и не позднее, чем через 43 минуты после начала движения произошли следующие два события: первый мотоциклист проехал свою окружность 11 раз, а второй мотоциклист проехал свою окружность 4 раза, - и разрыв во времени между этими событиями составил не менее 4 минут. Найдите отношение скоростей мотоциклистов.
  5. В треугольник MNK со сторонами MN = 6, NK = 7 и углом \frac{\pi}{3} при вершине N вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MN, одна на стороне NK и одна на стороне MK. Через середину стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой KR треугольника MNK в точке О. Найдите длину отрезка OK.
  6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \left\{\begin{array}{l l} \cos x=\sin(\sqrt{4-7a^2}\cdot x),\\\sin x=(3a-0,5)\cdot\cos(\sqrt{4-7a^2}\cdot x).\end{array}\right. имеет ровно одно решение на отрезке [\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}].

Ответы

2000 г.

  1. x<-2, -1\leq x
  2. (-1)^{k+1}\pi/6+\pi k, k \in Z
  3. 3\sqrt{15}/4
  4. -6<x<3/2,  3/2<x<2, 2<x<5/2, 5/2<x<19
  5. (\sqrt{3}-1)a/12

2001 г.

  1. x=-11; x>5
  2. \pi/3+2\pi n, \pi/2+\pi n, \pi+2\pi n, n \in Z
  3. 1/3\leq x<1, 1<x<\sqrt[3]{3}, 9\leq x
  4. 10/3
  5. 7\sqrt{3}/4
  6. -1/6; -1/2; +-3/4; +-\sqrt{39}/(4\sqrt{7})