Математика. Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2007

Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2007 г. по математике

Вариант 1

  1. Решите уравнение \log_{11-x^2}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x})=\log_{x-1}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x}).
  2. Решите уравнение \sin 2x=2\sin^3|x|+\sin 2x\cos x.
  3. Решите неравенство \sqrt{\displaystyle\frac{3-2x}{1+2x}}+\displaystyle\frac{\sqrt{1+2x}}{2\sqrt{3-2x}-\sqrt{2}}\geq 0.
  4. Окружности \omega_1 и \omega_2 лежат внутри треугольника ABC, в котором AB = BC = a = 6, AC = 2, а радиус \omega_1 в два раза больше радиуса \omega_2. Окружности \omega_1 и \omega_2 касаются внешним образом, причем \omega_1 касается сторон AB и AC, а \omega_2 - сторон BC и AC треугольника ABC. Найдите радиус окружности \omega_1, если a = 6. Найдите все значения a, при которых существуют указанные окружности.
  5. Найдите все значения параметра a, при которых наибольшее значение величины x^2+y на множестве пар действительных чисел (x; y), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам y\leq\sqrt{1-x^2} и y+|x-a|\leq 1, будет максимально возможным. Найдите это максимально возможное значение.
  6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1Dчетыре числа - длины ребер и диагонали АС1 - образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причем AA1<AB<BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причем первая сфера касается граней ABB1A1, ADD1A1, ABCD, а вторая - граней BCC1B1, CDD1C1, A1B1C1D1. Найдите: а) длины ребер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD1 и AC1; в) радиус R.

Вариант 5

  1. Решите уравнение 2\log_3(x^2-4)+3\sqrt{\log_3(x+2)^2}-\log_3(x-2)^2=4.
  2. Решите уравнение \displaystyle\frac{\cos 9x-2\cos 6x+1}{\cos 3x-1}=|\cos 3x|.
  3. Решите неравенство \displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}+x-3)(\sqrt{4x+5}+x-4)}{\sqrt{4+4x-x^2-x^3}}\leq 0.
  4. Окружность \omega с центром в точке O на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и E соответственно. Известно, что AD = 2CE, а угол DOE равен arctg (1/3). Найдите углы треугольника ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью \omega.
  5. Найдите все значения параметра a, при которых существует ровно две пары действительных чисел (x; y), удовлетворяющих системе уравнений \left\{\begin{array}{l l} (x+y^2-1)(y-\sqrt{6}|x|)=0,\\2ay+x=1+a^2.\end{array}\right.
  6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены два шара \omega_1 и \omega_2, касающиеся друг друга внешним образом. Кроме того, шар \omega_1 касается граней ABCD, ABB1A1, ADD1A1, а шар \omega_2 касается граней A1B1C1D1, BCC1B1, CDD1C1. Известно, что AB = 6-\sqrt{2}, A1D16+\sqrt{2}, CC1 = 6. Найдите расстояние между центрами шаров. Найдите наибольший и наименьший суммарный объем шаров.

Ответы

Вариант 1

  1. \log_23; 3
  2. \pi n, n \in Z; 2\pi/3+2\pi n, n \in Z, n\leq -1
  3. (-1/2; 5/4)
  4. 20/(3\sqrt{35}+10\sqrt{2}); a\geq 9/7
  5. (\sqrt{3}-1)/2\leq |a|\leq (\sqrt{3}+1)/2; 5/4
  6. а) AA_1=d\sqrt{2}; AB=d(\sqrt{2}+1); б) arccos\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{79+52\sqrt{2}}}; в) R=d(3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}})/4.

Вариант 5

  1. -2-\sqrt{3}
  2. \pi/3+2\pi n/3, n \in Z
  3. 1
  4. \pi-arctg 3; \pi/4; arctg (1/2)
  5. \sqrt{2/3}, \sqrt{3/2}, -1/(2\sqrt{6})<a\leq 1/(2\sqrt{6})
  6. d=4; V_{min}=64\pi/3; V_{max}=(136/3-16\sqrt{2})\pi