Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2007 г. по математике
Вариант 1
- Решите уравнение .
- Решите уравнение .
- Решите неравенство .
- Окружности и лежат внутри треугольника ABC, в котором AB = BC = a = 6, AC = 2, а радиус в два раза больше радиуса . Окружности и касаются внешним образом, причем касается сторон AB и AC, а - сторон BC и AC треугольника ABC. Найдите радиус окружности , если a = 6. Найдите все значения a, при которых существуют указанные окружности.
- Найдите все значения параметра , при которых наибольшее значение величины на множестве пар действительных чисел , удовлетворяющих одновременно двум неравенствам и , будет максимально возможным. Найдите это максимально возможное значение.
- В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 четыре числа - длины ребер и диагонали АС1 - образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причем AA1<AB<BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причем первая сфера касается граней ABB1A1, ADD1A1, ABCD, а вторая - граней BCC1B1, CDD1C1, A1B1C1D1. Найдите: а) длины ребер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD1 и AC1; в) радиус R.
Вариант 5
- Решите уравнение .
- Решите уравнение .
- Решите неравенство .
- Окружность с центром в точке O на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и E соответственно. Известно, что AD = 2CE, а угол DOE равен arctg (1/3). Найдите углы треугольника ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью .
- Найдите все значения параметра , при которых существует ровно две пары действительных чисел , удовлетворяющих системе уравнений
- Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены два шара и , касающиеся друг друга внешним образом. Кроме того, шар касается граней ABCD, ABB1A1, ADD1A1, а шар касается граней A1B1C1D1, BCC1B1, CDD1C1. Известно, что AB = , A1D1 = , CC1 = 6. Найдите расстояние между центрами шаров. Найдите наибольший и наименьший суммарный объем шаров.
Ответы
Вариант 1
- (-1/2; 5/4)
- а) ; б) ; в) .
Вариант 5
- 1