Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2007 г. по математике

Вариант 1

1. Решите уравнение $\log_{11-x^2}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x})=\log_{x-1}(2^x-6+3\cdot 2^{2-x})$.
2. Решите уравнение $\sin 2x=2\sin^3|x|+\sin 2x\cos x$.
3. Решите неравенство $\sqrt{\displaystyle\frac{3-2x}{1+2x}}+\displaystyle\frac{\sqrt{1+2x}}{2\sqrt{3-2x}-\sqrt{2}}\geq 0$.
4. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ лежат внутри треугольника ABC, в котором AB = BC = a = 6, AC = 2, а радиус $\omega_1$ в два раза больше радиуса $\omega_2$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом, причем $\omega_1$ касается сторон AB и AC, а $\omega_2$ - сторон BC и AC треугольника ABC. Найдите радиус окружности $\omega_1$, если a = 6. Найдите все значения a, при которых существуют указанные окружности.
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x; y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leq\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leq 1$, будет максимально возможным. Найдите это максимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа - длины ребер и диагонали АС₁ - образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причем AA₁<AB<BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причем первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая - граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины ребер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Вариант 5

1. Решите уравнение $2\log_3(x^2-4)+3\sqrt{\log_3(x+2)^2}-\log_3(x-2)^2=4$.
2. Решите уравнение $\displaystyle\frac{\cos 9x-2\cos 6x+1}{\cos 3x-1}=|\cos 3x|$.
3. Решите неравенство $\displaystyle\frac{(\sqrt{x+3}+x-3)(\sqrt{4x+5}+x-4)}{\sqrt{4+4x-x^2-x^3}}\leq 0$.
4. Окружность $\omega$ с центром в точке O на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и E соответственно. Известно, что AD = 2CE, а угол DOE равен arctg (1/3). Найдите углы треугольника ABC и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x; y)$, удовлетворяющих системе уравнений $\left\{\begin{array}{l l} (x+y^2-1)(y-\sqrt{6}|x|)=0,\\2ay+x=1+a^2.\end{array}\right.$
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ расположены два шара $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся друг друга внешним образом. Кроме того, шар $\omega_1$ касается граней ABCD, ABB₁A₁, ADD₁A₁, а шар $\omega_2$ касается граней A₁B₁C₁D₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁. Известно, что AB = $6-\sqrt{2}$, A₁D₁ = $6+\sqrt{2}$, CC₁ = 6. Найдите расстояние между центрами шаров. Найдите наибольший и наименьший суммарный объем шаров.

Ответы

Вариант 1

1. $\log_23; 3$
2. $\pi n, n \in Z; 2\pi/3+2\pi n, n \in Z, n\leq -1$
3. (-1/2; 5/4)
4. $20/(3\sqrt{35}+10\sqrt{2}); a\geq 9/7$
5. $(\sqrt{3}-1)/2\leq |a|\leq (\sqrt{3}+1)/2; 5/4$
6. а) $AA_1=d\sqrt{2}; AB=d(\sqrt{2}+1)$; б) $arccos\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{79+52\sqrt{2}}}$; в) $R=d(3+3\sqrt{2}-\sqrt{5+6\sqrt{2}})/4$.

Вариант 5

1. $-2-\sqrt{3}$
2. $\pi/3+2\pi n/3, n \in Z$
3. 1
4. $\pi-arctg 3; \pi/4; arctg (1/2)$
5. $\sqrt{2/3}, \sqrt{3/2}, -1/(2\sqrt{6})<a\leq 1/(2\sqrt{6})$
6. $d=4; V_{min}=64\pi/3; V_{max}=(136/3-16\sqrt{2})\pi$