Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на факультет психологии. 

Факультет психологии МГУ, 2000 г.

1. Решите уравнение $4x\sin 3x=3x+|x|$.
2. Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых первый член равен десяти, сумма второго и третьего членов - целое число, кратное четырем и не превосходящее одной тысячи, а знаменатель больше единицы. Укажите знаменатели всех таких прогрессий.
3. Два одинаковых поля требуется вспахать тремя тракторами. При работе в одиночку первый трактор вспашет одно поле втрое быстрее, чем второй, а третьему трактору на эту же работу потребуется времени на два часа больше, чем первому. Работая вместе, все три трактора могут вспахать одно поле за семь часов двенадцать минут. Найдите наименьшее время, за которое можно вспахать оба поля при условии, что все тракторы начинают работать одновременно, а для переезда с одного поля на другое любому трактору требуется сорок минут.
4. Решите неравенство $2+\log_\sqrt{x^2-2x-3}\frac{x+4}{x+1}\geq\log_{x^2-2x-3}(x^2-2x-2)^2$.
5. В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно 2/7.

Факультет психологии МГУ, 2001 г.

1. Решите уравнение $\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x}=\sqrt{15}$.
2. Решите неравенство $\log_2\log_{1/2}\frac{3x+4}{4x-8}\leq 0$.
3. Решите уравнение $3\sin^2 x-3\cos x-6\sin x+2\sin 2x+3=0$.
4. В трапеции BCDE основание BE = 13, основание CD = 3, CE = 10. На описанной около BCDE окружности взята отличная от E точка А так, что СА = 10. Найдите длину отрезка ВА и площадь пятиугольника ABCDE.
5. При каждом значении параметра $a$ решите неравенство $ax^4+x^3+(2a+3a^3)x^2+2x+6a^3>0$.

Ответы

2000 г

1. $0; \pi/6+2\pi n/3, n\geq 0, n \in Z; (-1)^k\pi/18+\pi k/3, k<0, k \in Z$
2. $(-1+\sqrt{1+8n/5})/2, n = 6, 7, \ldots , 250$
3. 14,5 ч
4. $3<x<1+\sqrt{5}, 10/3\leq x$
5. $\sqrt{769}/8$

2001 г

1. $3+-5\sqrt{3}/2$
2. $x\leq -8, x>12$
3. $\pi/2+2\pi n, 2arccos(1\sqrt{5})+2\pi n, 2arccos(1\sqrt{5})-\pi/2+2\pi n, n \in Z$
4. 3; 4098/61
5. при $a\leq -\sqrt[4]{1/12}$ решений нет; при $-\sqrt[4]{1/12}<a<0$: $((-1+\sqrt{1-12a^4})/(2a); (-1-\sqrt{1-12a^4})/(2a))$; при $a=0$: $x>0$; при $0<a\leq \sqrt[4]{1/12}$: $x<(-1-\sqrt{1-12a^4})/(2a), x>(-1+\sqrt{1-12a^4})/(2a)$; при $a>\sqrt[4]{1/12}$: все действительные числа.