Математика. Всероссийская олимпиада школьников 2014-2015. Окружной этап 9-11 классы

Всероссийская олимпиада по математике 2015. Окружной этап

олимпиада

условия 5-8 классов

9 класс

  1. В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью 0,5, за поражение — 0).

  2. Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трехчленов x^2+bx+c и x^2+ax+d известно, что 0<a<b<c<d. Могут ли эти трехчлены иметь общий корень?
  3.  Дан треугольник ABC. Прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно, а медиану AM — в точке Q. Известно, что PQ = 3, а QT = 5. Найдите длину AC.
  4. Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?
  5. Четырехугольник ABCD — вписанный. На его диагоналях AC и BD отметили точки K и L соответственно, так, что AK = AB и DL = DC. Докажите, что прямые KL и AD параллельны.
  6. Из шахматной доски размером 8 × 8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1 × 3. Определите, какой квадрат могли вырезать. (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)

10 класс

  1. Если разделить 2014 на 105, то в частном получится 19 и в остатке тоже 19. На какие ещё натуральные числа можно разделить 2014, чтобы частное и остаток совпали? (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)

  2. Докажите, что если в выражении (x^2-x+1)^{2014}  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного
    многочлена будет отрицательным.

  3. В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки попарно равны.

  4. Каждый день, с понедельника по пятницу, ходил старик к синему морю и закидывал в море невод. При этом каждый день в невод попадалось не больше рыбы, чем в предыдущий. Всего за пять дней старик поймал ровно 100 рыбок. Какое наименьшее суммарное количество рыбок он мог поймать за три дня — понедельник, среду и пятницу?

  5. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно.Известно, что точка пересечения медиан треугольникаAMN является точкой пересечения высот треугольника ABC. Найдите угол ABC.

  6. В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.

11 класс

  1. Не используя калькулятора, определите знак числа (\cos (\cos 1)-\cos 1)(\sin (\sin 1)-\sin 1)
  2. Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! = 1 · 2 · . . . · 99 так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?
  3. Существует ли тетраэдр ABCD, в котором AB = AC = AD = BC, а суммы плоских углов при каждой из вершин B и C равны по 150◦?
  4. При каких значениях x и y верно равенство x^2+(1-y)^2+(x-y)^2=\frac{1}{3}?
  5. Дан остроугольный треугольник ABC. Окружности с центрами A и C проходят через точку B, вторично пересекаются в точке F и пересекают описанную около треугольника ABC окружность w в точках D и E. Отрезок BF пересекает окружность w в точке O. Докажите, что O — центр описанной окружности треугольника DEF.
  6. На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр «01» заменять на набор цифр «1000». Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?