Вариант вступительных экзаменов по математике в ИКСИ, факультет информационной безопасности

ИКСИ, 1999 г.

1. Найдите все действительные корни алгебраического уравнения $(10x-5)^2(10x-4)(10x-6)=72$
2. В течение первых двух лет обучения одного набора слушателей в Академии процент отчисляемых на первом и втором курсах был одинаковым. Число слушателей, переведенных на третий курс, отличается от числа слушателей, переведенных на второй курс, на 20 человек. Всего на первый курс данного набора принят 441 человек. Сколько слушателей переведено на третий курс, если известно, что их было 100 человек?
3. Решите тригонометрическое уравнение $\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x=\cos x+\cos 2x$
4. В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям и равна 9, CD = 12, а отрезок АО, где О - точка пересечения диагоналей трапеции, равен 6. Найдите угол АОВ.
5. Считая $x$ и $y$ целыми числами, решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \log_4(\sqrt{y}+1)\log_{(y-2)^2}(x+1)+\log_{1/(y-2)^2}3=0,\\ 4^{x+y}-256\cdot 2^{x+y}+16384=0\end{array}\right.$.

Вариант вступительных экзаменов по математике в ИКСИ, факультет специальной техники

ИКСИ, 1999 г.

1. Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из одной тонны молока?
2. Решите неравенство $\lg x^{\sqrt{x-1}}+1>\lg x+\sqrt{x-1}$
3. В трапеции CDEF (CF параллельно DE) диагонали DF и CE перпендикулярны и пересекаются в точке В. Известно, что СD = 37, BF = 84, а радиус окружности, вписанной в треугольник BFC, равен 14. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DEB.
4. Решите уравнение $\sin (\pi x)=\cos\frac{\pi}{x}$
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $144^{-|2x-1|}-2\cdot 12^{-|2x-1|}+12a=0$ имеет хотя бы один корень.

Ответы

1. 1/5; 4/5
2. 400
3. $\pi (2n+1), -\arcsin (2/\sqrt{5})+(-1)^{k+1}\arcsin (1/\sqrt{5})+k\pi , n,k\in Z$
4. $\arccos (-1/\sqrt{145})$
5. (3;4)
1. 300
2. $[1;2)\cup (10;+\infty)$
3. 2
4. $(1-4k)/4\pm\sqrt{16k^2-8k+17}/4 , k\in Z$; $(1+4n\pm\sqrt{16n^2+8n-15})/4, n\in Z, n\ne 0, n\ne 1$
5. (0; 1/12]