Вариант вступительных экзаменов по математике в МГТУ им. Баумана 

МГТУ им. Баумана, 1997 г.

1. Двое рабочих должны изготовить по 27 деталей. Второй рабочий начал работать на 27 мин позднее первого, по две трети задания они выполнили к одному времени, и, чтобы закончить работу вместе с первым рабочим, сделал за него 1 деталь. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий?
2. Укажите все значения $x$, при которых функция $y=3-2\sin x-\cos 2x$ принимает наименьшее и наибольшее значения. Найдите эти значения.
3. Решите уравнение $3\cdot 9^{\sqrt{x}}-28\cdot 3^{\sqrt{x}}+9=0$.
4. Решите неравенство $\log_x(5x^2-6x+2)>2$.
5. Какая наибольшая площадь может быть у прямоугольника, две вершины которого лежат на оси х, а две другие - на графике функции $y=(x-1)(7-x), y\geq 0$?
6. Укажите все значения $p$, при которых уравнение $8+4p(x-2)=(x-|x|)x$ имеет единственное решение. Найдите это решение при каждом $p$.
7. В правильное треугольной пирамиде TABC расстояние между медианой АМ боковой грани ABT и высотой пирамиды TK равно p, а угол между ними равен 60^о. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Ответы

1. 8 и 10
2. $y_{min}=3/2$ при $x=(-1)^n\pi/6+n\pi, n\in Z$; $y_{max}=6$ при $x=-\pi/2+k\pi, k\in Z$
3. 4
4. $(1/2; 1)\cup (1; +\infty)$
5. $12\sqrt{3}$
6. $x=2(p-1)$ при $p\in [0;1)$; $x=2(p-1)/p$ при $p\in [1; +\infty)$
7. 10p/3