Метод математической индукции

Задачи для самостоятельного решения

  1. Докажите, что для любого натурального n справедливо равенство 1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
  2. Докажите, что для любого натурального n справедливо равенство \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}.
  3. Докажите, что если число x+\frac1{x} - целое, то x^n+\frac{1}{x^n} также является целым.
  4. Докажите, что 10^n+18n-1 делится на 27 для любого натурального n
  5. Докажите, что 11^{n+2}+12^{2n+1} делится на 133 для любого натурального n.
  6. Докажите, что \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\ldots\cdot\frac{2n}{2n+1}>\frac{1}{2n} для любого натурального n.
  7. Докажите, что \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq\sqrt{n} для любого натурального n.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *