МФТИ Олимпиада по математике 2015 Условия задач

Условия задач олимпиады по математике МФТИ 2015

цитаты

 

  1. Решите уравнение \displaystyle\frac{|\cos x|-\cos 3x}{\cos x\cdot\sin 2x}=\frac{2}{\sqrt{3}}
  2. Решите уравнение \displaystyle (\frac{3x}{2})^{\log_3(8x)}=\frac{x^7}{8}
  3. Найдите количество натуральных чисел k, не превосходящих 291000 и таких, что k^2-1 делится на 291 нацело.
  4. Решите систему  \left\{\begin{array}{l l}x^2+y^2\le 2 ,\\81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0\end{array}\right.
  5. На ребре AA_1 правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 взята точка T такая, что AT:A_1T=4:1. Точка T является вершиной прямого кругового конуса, такого что три вершины призмы принадлежат окружности основания. а) Найдите отношение высоты призмы к ребру ее основания; б) Пусть дополнительно известно, что BB_1 равно 5. Найдите объем конуса.
  6. Найдите все значения параметра b, для каждого из которых найдется число a такое, что система уравнений \left\{\begin{array}{l l}x=|y-b|+\frac{3}{b} ,\\x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x\end{array}\right. имеет хотя бы одно решение (x,y).
  7. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности \Omega_1 и \Omega_2 равных радиусов с центрами O_1 и O_2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно. При этом первая окружность касается стороны AD в точке K, а вторая окружность касается стороны BC в точке T. а) Найдите радиус окружности \Omega_1, если AK=2 и CT=8. б) Пусть дополнительно известно, что точка O_2 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.

Варианты вступительных экзаменов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *