Студенческая олимпиада МФТИ 1993

Студенческая олимпиада МФТИ 1993

олимпиада

Условия задач с ответами

1.1 Найдите наибольшее значение функции f=|x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3-x_2x_4| на единичном кубе \{x\in R^4| |x_k|\le1,1\le k\le4\}.

1.2 Найдите решение матричного дифференциального уравнения \displaystyle\frac{dX}{dt}=AX+XB, где A,B - постоянные матрицы порядка n, удовлетворяющие условию X(0)=E.

2. В квадратной матрице A порядка 2n на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны \pm1. Докажите, что detA\ne0.

3. Частица движется из точки А в точку B по прямой, не меняя направления движения. Расстояние AB=1, время движения равно 1, в начальный и конечный моменты времени движения скорость равна нулю. Докажите, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения частицы равна 4.

4.1 Существует ли непрерывная функция f:R\to R, принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках?

4.2 Докажите, что функция T(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\cos x+\sum_{k=2}^{\infty}a_k\cos(kx), где |a_0|<1, принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5.1 Пусть A и B - замкнутые выпуклые множества на плоскости. Следует ли отсюда, что их сумма A+B = \{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\} тоже замкнутое множество?

5.2 Известно, что все корни полинома P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+...+c_n с комплексными коэффициентами - чисто мнимые. Докажите, что при любом действительном x выполнено неравенство |\displaystyle\frac{2xP'(x)}{P(x)}-n|\le n.

6.1 Можно ли число \pi представить как \lim_{n\to\infty}(\sqrt{k_n}-\sqrt{m_n}), где \{k_n\},\{m_n\} - последовательности натуральных чисел?

6.2 Докажите, что при a>1 справедливо равенство \int_{0}^{\pi/2}\cos(ax)\cdot(\cos x)^{a-2}dx=0.

Ответы

1.1 2

1.2 X=e^{At}e^{Bt}

4.1 Нет

5.1 Нет

6.1 Да

к разделу Олимпиадные студенческие задачи

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *