МГУ Дополнительное вступительное испытание по математике 2013

Вступительное испытание по математике в МГУ 2013 года

  1. Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен 2. Один из его корней равен 5/2. Найдите второй корень, если известно, что f(0)=3.
  2. Вычислите \log_{12}3\cdot\log_912
  3. Решите неравенство 9(1+5^{1-2x})^{-1/2}-\frac{1}{2}(5^{2x}+5)^{1/2}\geq 6^{1/2}\cdot 5^{x/2}
  4. Решите уравнение \frac{\sin 5x}{\sin x}-\frac{\cos 5x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\sin 5x}-\frac{\cos x}{\cos 5x}
  5. В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер "Быстрый". Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер "Смелый". В этот же самый момент "Быстрый", не желая встречи со "Смелым", развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от "Быстрого" до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от "Смелого" до "Быстрого", на "Смелом" осознали, что они идут с "Быстрым" на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.
  6. Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса R и описана около окружности радиуса r. Найдите r, если R=12, а косинус угла между диагональю АС и основанием AD равен 3/4.
  7. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС такой, что АС = ВС = 1. На ребре А1В1 верхнего основания (параллельном АВ) отмечена точка D так, что A1D : DB1 = 1 : 2. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABC1D, если высота призмы равна 1.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение \sin (x+\frac{a}{x})=x+1 имеет бесконечно много решений.

Ответы

  1. 3/5
  2. 1/2
  3. [0;1]
  4. k\pi/8, n\pi/6, k,n\in Z, k\ne 4m, n\ne 3p, m,p\in Z
  5. 2 км
  6. 7
  7. (1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2/3})^{-1}
  8. a\ne 0

все вступительные в МГУ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *