МГУ Дополнительное вступительное испытание по математике 2015

Вступительное испытание
по математике в МГУ 2015 года

МГУ

  1. Найдите f(2), если f(x)=\displaystyle\frac{x}{5}+\frac{3}{x}+\frac{1}{10}.
    Ответ: 2
  2. Найдите сумму квадратов корней уравнения x^2-7x+5=0.
    Ответ: 39
  3. Решите неравенство \cos x+\sqrt{2}\cos 2x-\sin x\ge 0.
    Ответ: x\in [-5\pi/12+2n\pi;\pi/4+2n\pi]\cup [11\pi/12+2n\pi; 5\pi/4+2n\pi], n\in Z
  4. Решите уравнение \log_x|2x^2-3|=4\log_{|2x^2-3|}x Ответ: 1/\sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{3+\sqrt{17}}/2
  5. Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD : DE : EB = 1 : 2 : 1. Чему может равняться АС, если угол ВАС равен 30о?  
    Ответ: \sqrt{3}\pm\sqrt{2}
  6. Велосипедист Василий выехал из А в Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в А за новым велосипедом. В момент поломки из А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от А на 4 км, а Василий доберется до А тогда же, когда Григорий до Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
    Ответ: 1 км
  7. В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A1B1C1 и ребрами AA1, BB1, CC1 вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми AE и BD равно \sqrt{13}. где E и D - точки, лежащие на A1B1 и B1C1 соответственно, и A1E : EB1 = B1D : DC1 = 1 : 2.
    Ответ: 13/6
  8. Найдите все пары (\alpha;\beta, при которых достигается максимум выражения \displaystyle\frac{4-3\sin\alpha}{2+\cos2\alpha}+\frac{2+\cos 2\alpha}{\beta^2+\beta+1}+\frac{\beta^2+\beta+1}{\sqrt{\beta}+1}+\frac{\sqrt{\beta}+1}{4-3\sin\alpha}
    Ответ: \alpha=\pi/2+2n\pi, n\in Z, \beta=0

смотрите еще МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013