Вступительное испытание
по математике в МГУ 2015 года

1. Найдите $f(2)$, если $f(x)=\displaystyle\frac{x}{5}+\frac{3}{x}+\frac{1}{10}$.
   Ответ: 2
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2-7x+5=0$.
   Ответ: 39
3. Решите неравенство $\cos x+\sqrt{2}\cos 2x-\sin x\ge 0$.
   Ответ: $x\in [-5\pi/12+2n\pi;\pi/4+2n\pi]\cup [11\pi/12+2n\pi; 5\pi/4+2n\pi], n\in Z$
4. Решите уравнение $\log_x|2x^2-3|=4\log_{|2x^2-3|}x$ Ответ: $1/\sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{3+\sqrt{17}}/2$
5. Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD : DE : EB = 1 : 2 : 1. Чему может равняться АС, если угол ВАС равен 30^о?  
   Ответ: $\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$
6. Велосипедист Василий выехал из А в Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в А за новым велосипедом. В момент поломки из А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от А на 4 км, а Василий доберется до А тогда же, когда Григорий до Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
   Ответ: 1 км
7. В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A₁B₁C₁ и ребрами AA₁, BB₁, CC₁ вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми AE и BD равно $\sqrt{13}$. где E и D - точки, лежащие на A₁B₁ и B₁C₁ соответственно, и A₁E : EB₁ = B₁D : DC₁ = 1 : 2.
   Ответ: 13/6
8. Найдите все пары $(\alpha;\beta$, при которых достигается максимум выражения $\displaystyle\frac{4-3\sin\alpha}{2+\cos2\alpha}+\frac{2+\cos 2\alpha}{\beta^2+\beta+1}+\frac{\beta^2+\beta+1}{\sqrt{\beta}+1}+\frac{\sqrt{\beta}+1}{4-3\sin\alpha}$
   Ответ: $\alpha=\pi/2+2n\pi, n\in Z, \beta=0$

смотрите еще МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013