Функциональные уравнения

1. Существует ли линейная функция $y=f(x)$, удовлетворяющая при всех $x$ соотношению $2f(x+2)+f(4-x)=2x+5$?
2. Найдите квадратичную функцию $y=f(x)$, удовлетворяющую при всех $x$ уравнению $f(1-x)-f(2-x)=-2x+7$.
3. Существует ли квадратичная функция $f(x+1)+f(2-x)=(x+1)^2$?
4. Найдите все многочлены степени n, удовлетворяющие тождеству $P(x^2) = (P(x))^2$ при $x\in (-\infty; \infty)$.
5. Найдите функцию $y=f(x)$, удовлетворяющую при всех $x\ne 0$ соотношению $f(x)+3xf(\frac{1}{x})=2x^2$.
6. Найдите значения $x$, при которых функция $f(x)$, удовлетворяющая при всех $x\ne 0$ и $x\ne 1$ уравнению $f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x$, имеет экстремумы. Найдите эту функцию.
7. Задана функция $f(x)$, причем $f(x+y)=f(x)+f(y)$ для всех рациональных чисел $x$ и $y$. Найдите $f(-\frac{2}{7})$, если $f(10)=-\pi$.
8. Задана функция $f(x)$, причем $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ для всех рациональных чисел $x$ и $y$. Известно, что $f(4)=16$. Найдите $f(-\frac{3}{2})$.
9. Функция для любых действительных значений $x$ и $y$ удовлетворяет равенству $f(x+y)=f(x)+f(y)+80xy$. Найдите $f(\frac{4}{5})$, если $f(\frac{1}{4})=2$.
10. Функция $f(x)$ при каждом действительном $x$ удовлетворяет равенству $x+f(x)=f(f(x))$. Решите уравнение $f(f(x))=0$.
11. Найдите все функции $f(x)$, определенные на всей числовой прямой, для которых неравенство $f(y)\cdot\cos (x-y)\leq f(x)$ выполнено при любых $x$ и $y$.

Ответы

1. $f(x)=2x-11/3$
2. $f(x)=-x^2-4x+c$, c - произвольная константа
3. нет
4. $P(x)=x^n$
5. $f(x)=(3-x^3)/(4x)$
6. $f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$
7. $\pi/35$
8. $\sqrt{2}/4$
9. 24
10. 0
11. $f(x)=c, c\geq 0$