МГУ Функциональные уравнения

Функциональные уравнения

  1. Существует ли линейная функция y=f(x), удовлетворяющая при всех x соотношению 2f(x+2)+f(4-x)=2x+5?
  2. Найдите квадратичную функцию y=f(x), удовлетворяющую при всех x уравнению f(1-x)-f(2-x)=-2x+7.
  3. Существует ли квадратичная функция f(x+1)+f(2-x)=(x+1)^2?
  4. Найдите все многочлены степени n, удовлетворяющие тождеству P(x^2) = (P(x))^2 при x\in (-\infty; \infty).
  5. Найдите функцию y=f(x), удовлетворяющую при всех x\ne 0 соотношению f(x)+3xf(\frac{1}{x})=2x^2.
  6. Найдите значения x, при которых функция f(x), удовлетворяющая при всех x\ne 0 и x\ne 1 уравнению f(x)+f(\frac{1}{1-x})=x, имеет экстремумы. Найдите эту функцию.
  7. Задана функция f(x), причем f(x+y)=f(x)+f(y) для всех рациональных чисел x и y. Найдите f(-\frac{2}{7}), если f(10)=-\pi.
  8. Задана функция f(x), причем f(x+y)=f(x)\cdot f(y) для всех рациональных чисел x и y. Известно, что f(4)=16. Найдите f(-\frac{3}{2}).
  9. Функция для любых действительных значений x и y удовлетворяет равенству f(x+y)=f(x)+f(y)+80xy. Найдите f(\frac{4}{5}), если f(\frac{1}{4})=2.
  10. Функция f(x) при каждом действительном x удовлетворяет равенству x+f(x)=f(f(x)). Решите уравнение f(f(x))=0.
  11. Найдите все функции f(x), определенные на всей числовой прямой, для которых неравенство f(y)\cdot\cos (x-y)\leq f(x) выполнено при любых x и y.

Ответы

  1. f(x)=2x-11/3
  2. f(x)=-x^2-4x+c, c - произвольная константа
  3. нет
  4. P(x)=x^n
  5. f(x)=(3-x^3)/(4x)
  6. f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x(x-1)}
  7. \pi/35
  8. \sqrt{2}/4
  9. 24
  10. 0
  11. f(x)=c, c\geq 0