МГУ Магистратура Мех-мат

Вариант 2016-07-12-01

1. Исследовать на сходимость последовательность $x_n=\displaystyle\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^2}+...+\frac{\sin n}{2^n}$
2. Постройте фазовый портрет системы, описываемой уравнением $x''-x=1$.
3. Множество точек комплексной плоскости удовлетворяет условию $|z-3-4i|\le1$, где $z$ - комплексная переменная, $i$ - мнимая единица. В каких пределах может изменяться отношение $\displaystyle\frac{Imz}{Rez}$?
4. Вычислите неопределенный интеграл $\int\frac{x^3+x}{(x^2+2x+2)^2}dx$. Указание: применить метод неопределенных коэффициентов
5. Определите геометрическое место хорд сферы $(x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2=25$, делящихся точкой M(3;5;1) пополам.
6. Найдите все значения параметра $q$, при которых векторы $\overline{a}_1=(2+q,2,-6)$, $\overline{a}_2=(3,1,-3)$, $\overline{a}_3=(1,2,2+q)$ линейно независимы
7. В шар радиуса R вписан цилиндр максимального объема. Найдите этот объем.
8. Решите уравнение $x^2+y^2=3z^2$ в целых числах.

смотрите еще МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013