Многочлены

1. Найдите сумму коэффициентов многочлена, который получится после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении  $(1-3x+3x^2)^{34}(1+5x-5x^2)^{249}$.
2. Для каких значений параметра $p$ отношение суммы коэффициентов многочлена $(px-7)^{18}$ к его свободному члену минимально?
3. Делится ли многочлен $x^5-3x^3+6x^2-2$ на $x+4$ без остатка?
4. Найдите остаток от деления многочлена $x^{2002}+x^{2001}+x^{1002}+x^{1001}+x^2+x+1$ на $x^3-x$.
5. Найдите такие числа $a$ и $b$, что при всех значениях $x$ справедливо равенство $(x^2+5x+6)(x+a)=(x^2-9)(x+b)$.
6. Найдите все действительные значения $p$ и $q$, при которых многочлен $x^4+1$ делится на многочлен $x^2+px+q$.
7. При каких значениях $a$ и $b$ многочлен $x^4+x^2+2x^2+ax+b$ является квадратом некоторого квадратного трехчлена?
8. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с 1 дает полный квадрат.
9. Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведение равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?
10. Пусть числа $x$, $y$, $a$ и $b$ такие, что $x+y=a+b$ и $x^2+y^2=a^2+b^2$. Выразите через числа $a$ и $b$ сумму $x^n+y^n$, где $n\geq 3$ - натуральное.

Ответы

1. 1
2. 7
3. нет
4. $3x^2+3x+1$
5. a = -3, b = 2
6. $p=\sqrt{2}, q=1$ или $p=-\sqrt{2}, q=1$
7. a = 7/8, b = 49/64
9. 0
10. $a^n+b^n$