МГУ Многочлены

Многочлены

  1. Найдите сумму коэффициентов многочлена, который получится после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении  (1-3x+3x^2)^{34}(1+5x-5x^2)^{249}.
  2. Для каких значений параметра p отношение суммы коэффициентов многочлена (px-7)^{18} к его свободному члену минимально?
  3. Делится ли многочлен x^5-3x^3+6x^2-2 на x+4 без остатка?
  4. Найдите остаток от деления многочлена x^{2002}+x^{2001}+x^{1002}+x^{1001}+x^2+x+1 на x^3-x.
  5. Найдите такие числа a и b, что при всех значениях x справедливо равенство (x^2+5x+6)(x+a)=(x^2-9)(x+b).
  6. Найдите все действительные значения p и q, при которых многочлен x^4+1 делится на многочлен x^2+px+q.
  7. При каких значениях a и b многочлен x^4+x^2+2x^2+ax+b является квадратом некоторого квадратного трехчлена?
  8. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с 1 дает полный квадрат.
  9. Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведение равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?
  10. Пусть числа xya и b такие, что x+y=a+b и x^2+y^2=a^2+b^2. Выразите через числа a и b сумму x^n+y^n, где n\geq 3 - натуральное.

Ответы

  1. 1
  2. 7
  3. нет
  4. 3x^2+3x+1
  5. a = -3, b = 2
  6. p=\sqrt{2}, q=1 или p=-\sqrt{2}, q=1
  7. a = 7/8, b = 49/64
  8. 0
  9. a^n+b^n