МГУ Рациональные уравнения

Рациональные уравнения

  1.  (6x-15)^7=(x-1)^{14}
  2.  2x^2+13y^2-10xy-2x+4y+1=0
  3. 5x^2+5y^2+8xy-12x-6y+9=0
  4. При каких натуральных n уравнение 2x^4-x^3+nx^2-1=0 имеет рациональные корни?
  5. x^3-(\sqrt{2}+1)x^2+2=0
  6. (x^2+3x-2)^2+3(x^2+3x-2)-2=x
  7. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение 8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1?
  8. x^{12}-x^9+x^4-x+1=0
  9. Пусть f(x) - периодическая функция с периодом 8 и f(x)=8x-x^2 при x\in [0;8]. Решите уравнение f(2x+16)+23=5f(x).
  10. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке [0; 2] ее значения вычисляются по правилу f(x)=1-|x-1|. Решите уравнение 2f(x)f(x-8)+5f(x+12)+2=0.
  11. \displaystyle\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\displaystyle\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}
  12. \displaystyle\frac{x^3+7x^2+10x-3(x^2+7x)-30}{\sqrt{x+2}}=0
  13. x^3+x^2+x=-\frac{1}{3}
  14. 8x^3+36x^2+54x+33=0

Ответы

  1. 4
  2. (3; 1)
  3. (2; -1)
  4. 3; 4
  5. \sqrt{2}; (1\pm\sqrt{1+4\sqrt{2}})/2
  6. -1\pm\sqrt{3}; -2\pm\sqrt{2}
  7. 3
  8. нет корней
  9. 1+8n, 7+8m, n, m\in Z
  10. -3/2+4n, -1/2+4m, n,m \in Z
  11. 0; -1
  12. 3
  13. -\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}}
  14. -(3+\sqrt[3]{6})/2