Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

31. Есть две кучки камней, в одной из которых 15 камней, а в другой — 20. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

32. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?

33. Докажите, что $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ при натуральном $n$.
34. Докажите, что при  любом натуральном $n$ число $3^{2n+2}+8n-9$ делится на 16.
35. У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры и сложили получившееся число с исходным. В результате получилось число 1187. Найдите все такие числа и объясните, почему нет других.
36. Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У него получилось число 1994. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что при подсчете Вася ошибся. Объясните, почему Коля действительно прав.
37. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{a-b}=2$. Найдите все возможные значения выражения $\frac{3a-b}{a+5b}$.
38. Найдите все такие двузначные числа N, что сумма цифр числа N в 5 раз меньше самого числа N.
    Объясните, как вы нашли эти числа.
39. Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа, а медиана, проведенная из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла B. Найдите длины сторон треугольника ABC.
40. Найдите все такие трехзначные числа N, что сумма цифр числа N в 11 раз меньше самого числа N.