Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

81. Докажите, что если $a+b=1$, то $a^3+b^3+3ab=a+b$.
82. На одном луче прямого угла взяты точки А и С, а на другом - точки В и D. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD, если AC = a  и BD = b.
83. Если к двухзначному числу прибавить двухзначное число, полученное из исходного перестановкой цифр, то получится число, равное квадрату суммы цифр исходного числа. Найдите все числа, обладающие таким свойством.
84. Камешки в количестве 175 разложены в несколько равных (по количеству камешков) кучек. Оказалось, что камешки из двух кучек можно поровну разделить по остальным кучкам, причем в каждую кучку добавится по 10 камешков. Сколько всего имеется кучек?
85. В каждую клетку таблицы 5 х 5 клеток вписано число 0 или 1 так, что в клетках любого ее квадрата 2 х 2 стоит ровно три одинаковых числа. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел в такой таблице?
86. Два велосипедиста выехали одновременно из А в B, каждый с постоянной скоростью. Когда первый проехал треть пути, второму велосипедисту оставалось до середины пути проехать 2,5 км. Когда второй приехал в В, первому велосипедисту оставалось еще ехать 6 км. Найдите расстояние между пунктами А и В.
87. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.
88. На доске были написаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально написаны на доске?
89. Найдите все целые $a$, при которых уравнение $x^2+ax+a=0$ имеет целый корень.
90. Считается, что ученик А учится лучше ученика В, если в большинстве контрольных работ оценка у А выше, чем оценка у В. Приведите пример ситуации, когда ученик А учится лучше, чем В, ученик В - лучше, чем С, а ученик С - лучше, чем А.