Олимпиадная математика. Девятнадцая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три. Можно ли уменьшить количество чисел?

  2. Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, каждый послал по 5 открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

  3. Длины сторон остроугольного треугольника - последовательные целые числа. Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит ее на отрезки, разность которых равна 4.
  4. Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых 10 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.
  5. В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограмм. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из слонов.
  6. Одновременно из А и Б навстречу друг другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 мин раньше, то они встретились бы на 2 км ближе к Б. Если бы Боря вышел на 30 мин раньше, то встреча состоялась бы ближе к А. На сколько километров?
  7. В клетках таблицы 4 х 4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющую общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
  8. В параллелограмме ABCD точка М - середина стороны СD, точка Н - основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на прямую АМ. Докажите, что треугольник ВСН равнобедренный.
  9. Дана таблица n x n, в каждой клетке записано число, причем все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.
  10. Петя перемножил первые n натуральных чисел, а Вася перемножил первые m четных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что кто-то из них ошибся.