Олимпиадная математика. Двадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

$a_1=0$ , $a_{n+1}=a_{n}+(-1)^n\cdot n$ . Найдите номер k, при котором $a_k=2008$
В треугольник АВС вписана окружность. Отрезок ED (точка Е принадлежит стороне AC, точка D принадлежит стороне АВ) касается этой окружности. Найдите периметр треугольника ADE, если АС = 5, АВ = 6 и ВС = 3.
Точка М - середина стороны АВ квадрата АВСD со стороной 1. Найдите площадь четырехугольника, образованного диагоналями квадрата и отрезками DM и CM.
Сколько существует простых чисел $p$ таких, что $p^4+1$ также является простым?
Кенгуру находится в начале прямоугольной системы координат на плоскости. За один прыжок кенгуру может переместиться по вертикали или по горизонтали на расстояние 1. Сколько существует различных точек на плоскости, в которых кенгуру может оказаться после 10 таких прыжков?
Найдите максимальное n, при котором 500! делится на $7^n$
Известно, что длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами. Докажите, что хотя бы одна из сторон делится на 3
Найдите все простые числа $p$ такие, что $p^2+13$ - тоже простое.
В прямоугольнике JKLM биссектриса угла KJM пересекает диагональ MK в точке N. Расстояние от точки N до сторон ML и KL равны соответственно 1 и 8. Найдите длину LM.
Сколько существует натуральных $n\ge3$ , для которых можно построить выпуклый n-угольник, углы которого относятся как 1:2:...:n?