Олимпиадная математика. Двадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. a_1=0, a_{n+1}=a_{n}+(-1)^n\cdot n. Найдите номер k, при котором a_k=2008

  2. В треугольник АВС вписана окружность. Отрезок ED (точка Е принадлежит стороне AC, точка D принадлежит стороне АВ) касается этой окружности. Найдите периметр треугольника ADE, если АС = 5,  АВ = 6 и ВС = 3.

  3. Точка М - середина стороны АВ квадрата АВСD со стороной 1. Найдите площадь четырехугольника, образованного диагоналями квадрата и отрезками DM и CM.
  4. Сколько существует простых чисел p таких, что p^4+1 также является простым?
  5. Кенгуру находится в начале прямоугольной системы координат на плоскости. За один прыжок кенгуру может переместиться по вертикали или по горизонтали на расстояние 1. Сколько существует различных точек на плоскости, в которых кенгуру может оказаться после 10 таких прыжков?
  6. Найдите максимальное n, при котором 500! делится на 7^n
  7. Известно, что длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами. Докажите, что хотя бы одна из сторон делится на 3
  8. Найдите все простые числа p такие, что p^2+13 - тоже простое.
  9. В прямоугольнике JKLM биссектриса угла KJM пересекает диагональ MK в точке N. Расстояние от точки N до сторон ML и KL равны соответственно 1 и 8. Найдите длину LM.
  10. Сколько существует натуральных n\ge3, для которых можно построить выпуклый n-угольник, углы которого относятся как 1:2:...:n?