Олимпиадная математика. Двенадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

Верно ли, что для любого нечетного числа $a$ число $(100+a)^5+1$ является составным?
Найдите углы треугольника, если две его высоты не меньше сторон, на которые они опущены.
Шахматист-любитель придумал новую фигуру, передвигающуюся "ходом верблюда": на три клетки прямо и одну в сторону. Можно ли обойти всю шахматную доску "ходом верблюда", побывав в каждой клетке не менее одного раза?
Площадь треугольника ABC равна 7. Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если AC₁=C₁A₁, BA₁=A₁B₁ и CB₁=B₁C₁.
В трапеции ABCD основание AB, диагональ AC и сторона AD равны 5. Найдите диагональ BD, если BC = 6.
Найдите целые значения $a$ , при которых значение выражения $\frac{a^3-8}{a+2}$ является целым числом.
Вычислите сумму $1+4+7+\ldots+97+100$
Средний возраст одиннадцати футболистов равен 22 годам. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Вместо любых двух чисел $a$ и $b$ из этого набора записываются числа $a+\frac{b}{2}$ и $b-\frac{a}{2}$ . Затем эта операция производится с двумя произвольными числами из получившегося набора и так далее. Можно ли после конечного числа таких операций получить исходный набор чисел?
В треугольнике АВС точка А₁ принадлежит отрезку ВС, а точка С₁ - отрезку АВ. Может ли точка пересечения отрезков AA₁ и CC₁ быть серединой каждого из них?