Олимпиадная математика. Двенадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Верно ли, что для любого нечетного числа a число (100+a)^5+1 является составным?

  2. Найдите углы треугольника, если две его высоты не меньше сторон, на которые они опущены.

  3. Шахматист-любитель придумал новую фигуру, передвигающуюся "ходом верблюда": на три клетки прямо и одну в сторону. Можно ли обойти всю шахматную доску "ходом верблюда", побывав в каждой клетке не менее одного раза?

  4. Площадь треугольника ABC равна 7. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если AC1=C1A1, BA1=A1B1 и CB1=B1C1треугольник

  5. В трапеции ABCD основание AB, диагональ AC и сторона AD равны 5. Найдите диагональ BD, если BC = 6.

  6. Найдите целые значения a, при которых значение выражения \frac{a^3-8}{a+2} является целым числом.
  7. Вычислите сумму 1+4+7+\ldots+97+100

  8. Средний возраст одиннадцати футболистов равен 22 годам. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
  9. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Вместо любых двух чисел a и b из этого набора записываются числа a+\frac{b}{2} и b-\frac{a}{2}. Затем эта операция производится с двумя произвольными числами из получившегося набора и так далее. Можно ли после конечного числа таких операций получить исходный набор чисел?
  10. В треугольнике АВС точка А1 принадлежит отрезку ВС, а точка С1 - отрезку АВ. Может ли точка пересечения отрезков AA1 и CC1 быть серединой каждого из них?