Олимпиадная математика. Одиннадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них прямоугольник.

  2. При каких значениях m уравнения  mx – 1000 = 1001  и  1001x = m – 1000x  имеют общий корень?
  3. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
  4. Докажите, что при любом натуральном n>1 справедливо неравенство \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}
  5. Для отличных от нуля чисел a,b,c и d выполняется равенство \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}. Найдите знак числа ac.
  6. Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?
  7. Дано натуральное число  n, которое имеет ровно 100 различных делителей (включая 1 и n). Найдите их произведение.
  8. Решите уравнение m^2+n^2=1980 в целых числах.
  9. В таблице 8 × 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом, все остальные - белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов добиться того, чтобы все клетки стали белыми? Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
  10. Решите уравнение x^3+y^3=8^{30} в целых числах.