Олимпиадная математика. Пятнадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры строго в возрастающем порядке, или тех, у которых цифры идут строго в убывающем порядке? Например, в первую группу входит число 12459, но не входят числа 12495 и 12259.

  2. В некоторой компании 100 акционеров и любые 66 из них владеют не менее чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть один акционер?

  3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и CE. Точки M и N - основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек А и С соответственно. Докажите, что ME = DN.
  4. В таблицу 4 х 4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?
  5. Можно ли покрасить все клетки доски 2003 х 2003 в два цвета так, чтобы у каждой клетки было ровно две соседние по стороне клетки, покрашенные  в тот же цвет, что и сама клетка?
  6. Найдите углы треугольника, если середина одной из биссектрис является серединой отрезка, соединяющего основания высоты и медианы, проведенные из двух других вершин треугольника.
  7. Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя написал под каждым из Васиных чисел его квадрат. После чего Вася сложил все числа, написанные на доске, и получил 2003. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.
  8. Может ли в остроугольном треугольнике биссектриса быть в два раза больше высоты, проведенной из той же вершины?
  9. Произведение трех натуральных чисел оканчивается на 2002. Докажите, что их сумма не может равняться 9999.
  10. Вдоль дороги растут 2002 ели. Утром на каждой из них сидело по одной вороне. В полдень каждая ворона взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получится, чтобы на каждой ели вновь сидело по одной вороне?