Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры строго в возрастающем порядке, или тех, у которых цифры идут строго в убывающем порядке? Например, в первую группу входит число 12459, но не входят числа 12495 и 12259.
-
В некоторой компании 100 акционеров и любые 66 из них владеют не менее чем 50% акций компании. Каким наибольшим процентом всех акций может владеть один акционер?
- В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и CE. Точки M и N - основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек А и С соответственно. Докажите, что ME = DN.
- В таблицу 4 х 4 записали натуральные числа. Могло ли оказаться так, что сумма чисел в каждой следующей строке на 2 больше, чем в предыдущей, а сумма чисел в каждом следующем столбце на 3 больше, чем в предыдущем?
- Можно ли покрасить все клетки доски 2003 х 2003 в два цвета так, чтобы у каждой клетки было ровно две соседние по стороне клетки, покрашенные в тот же цвет, что и сама клетка?
- Найдите углы треугольника, если середина одной из биссектрис является серединой отрезка, соединяющего основания высоты и медианы, проведенные из двух других вершин треугольника.
- Вася написал на доске несколько целых чисел. Петя написал под каждым из Васиных чисел его квадрат. После чего Вася сложил все числа, написанные на доске, и получил 2003. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.
- Может ли в остроугольном треугольнике биссектриса быть в два раза больше высоты, проведенной из той же вершины?
- Произведение трех натуральных чисел оканчивается на 2002. Докажите, что их сумма не может равняться 9999.
- Вдоль дороги растут 2002 ели. Утром на каждой из них сидело по одной вороне. В полдень каждая ворона взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получится, чтобы на каждой ели вновь сидело по одной вороне?