Олимпиадная математика. Седьмая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.
  2. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых - целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника - тоже целое число метров?
  3. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?
  4. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.
  5. Куб размером 3 х 3 х 3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
  6. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?
  7. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998? Прямоугольники aхb и bхa считаются одинаковыми.
  8. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
  9. Дан треугольник с периметром 63, одна из сторон которого равна 21. Оказалось, что одна из медиан этого треугольника перпендикулярна одной из его биссектрис. Найдите длины сторон этого треугольника.
  10. В Цветочном городе живет 14 коротышек. Они объединены в различные партии. По закону, партия должна состоять не менее, чем из 3 коротышек. Кроме того, каждый коротышка может быть членом не более 2 партий, а председатель любой из партий не может входить ни в какую другую партию. Какое наибольшее число партий может быть в Цветочном городе?