Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.
- Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых - целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника - тоже целое число метров?
- На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?
- Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.
- Куб размером 3 х 3 х 3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?
- На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?
- Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 1996 или с периметром 1998? Прямоугольники aхb и bхa считаются одинаковыми.
- Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
- Дан треугольник с периметром 63, одна из сторон которого равна 21. Оказалось, что одна из медиан этого треугольника перпендикулярна одной из его биссектрис. Найдите длины сторон этого треугольника.
- В Цветочном городе живет 14 коротышек. Они объединены в различные партии. По закону, партия должна состоять не менее, чем из 3 коротышек. Кроме того, каждый коротышка может быть членом не более 2 партий, а председатель любой из партий не может входить ни в какую другую партию. Какое наибольшее число партий может быть в Цветочном городе?