Олимпиадная математика. Семнадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не кратных 5.

  2. На клетчатой бумаге отмечены 100 вершин соседних клеток, расположенных в одном ряду клеток (то есть получилось два ряда из 50 точек каждый). Найдите число равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точек.

  3. Про действительное число x высказаны следующие утверждения: 1) x - целое число; 2) x+\frac{1}{x} - целое число; 3) x^2+\frac{1}{x^2} - целое число; 4) x^2-4x - целое число. Известно, что из этих утверждений ровно три верны. Найдите все такие x
  4.  Найдите все значения a, при которых квадратное уравнение x^2-3(a-1)x+9a-8=0 имеет такие корни x_1, x_2, а уравнение x^2-3(a-2)x-32=0 - такие корни x_3, x_4, что числа x_1, x_2, x_3, x_4 образуют геометрическую прогрессию.
  5. Шары одинакового радиуса расположили один раз в форме правильного треугольника, а другой - в форме прямоугольника. Найдите количество шаров, если и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на 2 шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.
  6. Пусть a, b, c, d, e - действительные числа такие, что ab=2, bc=3, cd=4 и de=5. Найдите \frac{e}{a}
  7. Два квадрата со стороной 1 имеют общую вершину, и сторона одного квадрата лежит на диагонали второго. Найдите площадь общей части квадратов.
  8. Поезд состоит из пяти пронумерованных вагонов, расположенных за локомотивом. Сколько существует различных способов соединить вагоны так, чтобы первый вагон был ближе к локомотиву, чем второй вагон?
  9. Числа 1, 2 и 3 записали по кругу. Затем между каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Получилось шесть чисел (1, 3, 2, 5, 3, 4), записанных по кругу. Эту операцию повторили еще четыре раза. В результате получилось 96 чисел. Чему равна их сумма?
  10. Петя вычеркнул одно из десяти последовательных натуральных чисел. Сумма оставшихся чисел оказалась равна 2006. Какое число вычеркнул Петя?