Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не кратных 5.
-
На клетчатой бумаге отмечены 100 вершин соседних клеток, расположенных в одном ряду клеток (то есть получилось два ряда из 50 точек каждый). Найдите число равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точек.
- Про действительное число высказаны следующие утверждения: 1) - целое число; 2) - целое число; 3) - целое число; 4) - целое число. Известно, что из этих утверждений ровно три верны. Найдите все такие
- Найдите все значения , при которых квадратное уравнение имеет такие корни , а уравнение - такие корни , что числа образуют геометрическую прогрессию.
- Шары одинакового радиуса расположили один раз в форме правильного треугольника, а другой - в форме прямоугольника. Найдите количество шаров, если и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на 2 шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.
- Пусть - действительные числа такие, что и . Найдите
- Два квадрата со стороной 1 имеют общую вершину, и сторона одного квадрата лежит на диагонали второго. Найдите площадь общей части квадратов.
- Поезд состоит из пяти пронумерованных вагонов, расположенных за локомотивом. Сколько существует различных способов соединить вагоны так, чтобы первый вагон был ближе к локомотиву, чем второй вагон?
- Числа 1, 2 и 3 записали по кругу. Затем между каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Получилось шесть чисел (1, 3, 2, 5, 3, 4), записанных по кругу. Эту операцию повторили еще четыре раза. В результате получилось 96 чисел. Чему равна их сумма?
- Петя вычеркнул одно из десяти последовательных натуральных чисел. Сумма оставшихся чисел оказалась равна 2006. Какое число вычеркнул Петя?