Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

51. На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа $a$ и $b$, а вместо них записать числа $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ и $\frac{a-b}{\sqrt{2}}$. Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа $\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$ и 3?
52. По кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.
53. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
54. Может ли дискриминант квадратного трехчлена с целыми коэффициентами равняться 23?
55. Можно ли доску 10 х 10 разрезать на прямоугольники 4 х 1?
56. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\frac{a^2b^2}{a^4-2b^4}=1$. Найдите все возможные значения выражения $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.
57. Назовем натуральное число особым, если оно представимо в виде $m^2+2n^2$, где $m$ и $n$ — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел также особое число.
58. В левом нижнем углу доски 7x7 клеток стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает тот игрок, после хода которого фишка попадает в клетку, где она уже побывала. Кто выигрывает при правильной игре?
59. У Васи есть три банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из 10 досок, так, чтобы любые 2 соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски всех трех цветов?
60. У Пети есть волшебная палочка, способная создавать любой предмет, но только в единственном экземпляре. Срочно нужно десять одинаковых кирпичей. Что делать?