Олимпиадная математика. Третья серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Можно ли заменить звездочки в равенстве 1 * 2 * 3 * ... * 10 = 0 на знаки "-" и "+" так, чтобы равенство стало верным?
  2. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?
  3. Решите в целых числах уравнение 2nm+3n+m=0.
  4. В каждой клетке доски 7x7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки взлетают, и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой он взлетел. Докажите, что в какую-то клетку не сядет ни одного жука.
  5. В шести коробках лежат конфеты. В первой — 1, во второй — 2, в третьей — 3, ..., в шестой — 6. За один ход разрешается в любые две коробки добавить по одной конфете. Можно ли за несколько ходов уравнять количество конфет в коробках?
  6. На столе лежат 20 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять со стола 1, 2 или 3 монеты. Выигрывает тот, кто забирает со стола последнюю монету. Кто выигрывает при правильной игре?
  7. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны двадцати.
  8. По дороге идут два туриста. Один из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем другой. Кто из туристов идет быстрее и почему?
  9. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.
  10. Замените буквы А, В, С и D цифрами так, чтобы получилось верное равенство АААА + ВВВ - CC + D= 1995.