Олимпиадная математика. Восемнадцатая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Каждый сотрудник фирмы выписывает две газеты, и каждую газету выписывает пять человек, причем каждую пару газет выписывает ровно один человек. Сколько человек в фирме и сколько газет они выписывают?

  2. Петя делает пять выстрелов в тире. За каждое попадание он получает право еще на два выстрела. Сколько раз он попал, если всего было 25 выстрелов?

  3. Сумма трех различных наименьших делителей некоторого числа А равна 8. На сколько нулей оканчивается число А?
  4. Компания из нескольких друзей вела переписку так, что любое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?
  5. На клетчатой доске 4 х 4 Петя закрашивает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трех клеток. Какое наименьшее количество клеток должен закрасит Петя, чтобы Вася не выиграл?
  6. К кабине канатной дороги, ведущей на гору, подошли четыре человека, которые весят 50, 60, 70 и 90 кг. Смотрителя дороги нет, а в автоматическом режиме кабина ездит туда-сюда только с грузом от 100 кг до 250 кг (пустой она не ездит), при условии, что пассажиров можно рассадить на две скамьи, чтобы веса на скамьях отличались не более, чем на 25 кг. Каким образом все они смогут подняться на гору?
  7. Врун всегда лжет, хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил вруна, хитреца и переменчика, которые знаю друг друга. Сможет ли он, задавая вопросы, выяснить, кто есть кто?
  8. Вася положил некоторую сумму в рублях в банк под 20% годовых. Петя взял другую сумму, перевел ее в доллары и положил в банк под 10% годовых. За год цена одного доллара в рублях увеличилась на 9,5%. Когда через год Петя перевел свой вклад в рубли, оказалось, что за год Вася и Петя получили одинаковую прибыль. У кого первоначально была сумма больше?
  9. Используя три различных знака арифметических действий и знак равенства, получите верное равенство из записи 16032014.
  10. Медиана, биссектриса и высота треугольника ABC пересекаются в точке О. Отрезок биссектрисы от вершины до точки О равен отрезку высоты от вершины до точки О. Докажите, что треугольник равносторонний.