Олимпиадная математика. Восьмая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. В свежих ягодах содержится 99% воды. Когда ягоды высушили, воды в них осталось 98%. Во сколько раз уменьшился вес ягод после сушки?
  2. Про некоторую компанию людей известно, что каждый человек из компании знаком в ней ровно с 8 людьми, и для любой группы из 8 человек этой компании найдется такой человек в компании, который знаком с каждым из этих 8 человек. Сколько человек в компании?
  3. На доске записаны числа 12 и 56. Разрешается дописывать на доску новые числа, равные сумме, разности или произведению любых двух (по вашему выбору) уже имеющихся на доске чисел. Можно ли таким способом получить на доске число 1998?
  4. Для нумерации страниц в книге понадобилось 1000 цифр. Сколько страниц в книге, если нумерация начинается с третьей страницы, которая нумеруется цифрой 3?
  5. Дана куча камней (веса камней не обязательно равные). Известно, что все камни этой кучи можно разложить как на 5 равных по весу кучек, так и на 6 равных по весу кучек (кучка может состоять и из одного камня). Какое наименьшее число камней может быть в такой куче?
  6. Можно ли в клетках таблицы 3 х 3 расставить числа 0, 1, 2 (в каждой клетке - одно число) так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах таблицы были попарно различны?
  7. Имеется 5 одинаковых по виду монет, среди которых две фальшивые, а три настоящие. Известно, что настоящие монеты весят одинаково и что одна из фальшивых монет легче, а другая - тяжелее настоящей монеты. Как при помощи трех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивые монеты?
  8. Для наполнения бассейна используют несколько одинаковых труб. Если бы таких труб было в два раза больше, то бассейн можно было бы наполнить на 5 часов раньше, а если бы таких труб было больше на 2, то бассейн можно было бы наполнить за 6 часов. Сколько труб используют для наполнения бассейна?
  9. Решить уравнение (8x+7)^2(4x+3)(x+1)=4,5
  10. Докажите, что ни при каком целом x число x^2+x+1 не делится на 9.