Олимпиадная математика. Вторая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Двое игроков кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто выиграет при правильной игре?
  2. В куче 25 камней. Два игрока по очереди берут 2, 4 или 7 камней. Проигрывает тот, у кого нет возможности сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
  3. Два игрока начинают играть в крестики-нолики на поле 10х10. Выиграет тот, кто поставит три своих значка подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Может ли игра закончиться в ничью?
  4. В олимпиаде по математике участвовали 40 человек. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну - по геометрии и одну - по тригонометрии. Результаты проверки работ: количество человек, решивших задачу по алгебре, равно 20; по геометрии - 18; по тригонометрии - 18; по алгебре и геометрии - 7; по алгебре и тригонометрии - 8; по геометрии и тригонометрии - 9. Известно, что трое не справились ни с одной задачей. Сколько человек решили все три задачи? Сколько решили ровно две задачи?
  5. В трех кучках лежат 1, 9 и 98 камней. За один ход разрешается из любых двух кучек  взять по одному камню и переложить в третью. Можно ли за несколько ходов собрать все камни в одной из кучек?
  6. В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают раскраску третьего цвета. Например, серый и бурый становятся малиновыми. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют одинаковый цвет?
  7. Цена на товар повысилась в январе на 25%, в феврале - на 50%, в марте - на 60%. На сколько процентов возросла цена на товар в результате указанных повышений?
  8. Про некоторый треугольник ABC известно, что на его стороне ВС существует такая точка D, что AD = BD и AB = DC = AC. Найдите углы треугольника.
  9. В автобусе ехало не более  ста пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
  10. На доске были записаны четыре целых числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил шесть сумм, пять из которых: 16, 18, 20, 21, 24. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.