Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- Двое игроков кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто выиграет при правильной игре?
- В куче 25 камней. Два игрока по очереди берут 2, 4 или 7 камней. Проигрывает тот, у кого нет возможности сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
- Два игрока начинают играть в крестики-нолики на поле 10х10. Выиграет тот, кто поставит три своих значка подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Может ли игра закончиться в ничью?
- В олимпиаде по математике участвовали 40 человек. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну - по геометрии и одну - по тригонометрии. Результаты проверки работ: количество человек, решивших задачу по алгебре, равно 20; по геометрии - 18; по тригонометрии - 18; по алгебре и геометрии - 7; по алгебре и тригонометрии - 8; по геометрии и тригонометрии - 9. Известно, что трое не справились ни с одной задачей. Сколько человек решили все три задачи? Сколько решили ровно две задачи?
- В трех кучках лежат 1, 9 и 98 камней. За один ход разрешается из любых двух кучек взять по одному камню и переложить в третью. Можно ли за несколько ходов собрать все камни в одной из кучек?
- В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они одновременно приобретают раскраску третьего цвета. Например, серый и бурый становятся малиновыми. Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны имеют одинаковый цвет?
- Цена на товар повысилась в январе на 25%, в феврале - на 50%, в марте - на 60%. На сколько процентов возросла цена на товар в результате указанных повышений?
- Про некоторый треугольник ABC известно, что на его стороне ВС существует такая точка D, что AD = BD и AB = DC = AC. Найдите углы треугольника.
- В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число сидящих пассажиров было в 2 раза больше числа стоящих. На остановке из автобуса вышло ровно 4% всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
- На доске были записаны четыре целых числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил шесть сумм, пять из которых: 16, 18, 20, 21, 24. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.