Олимпиадные задачи по математике. Квадратный трехчлен

  1. Докажите, что квадратное уравнение (a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0 имеет корни только при a=b=c.
  2. Найдите, при каком значении x функция f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2 принимает наименьшее значение.
  3. Докажите, что квадратное уравнение (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 имеет хотя бы один корень.
  4. Найдите сумму корней всех квадратных трехчленов вида x^2+px-2014, где p принимает целые значения от -100 до 100 включительно.
  5. Докажите, что графики квадратичных функций y=x^2+px+q, у которых p+\frac{q}{2}=2001, проходят через одну точку.
  6. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2-(a+10)x+10a+1=0 являются целыми числами?
  7. Корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0 в 2007 раз больше корней квадратного уравнения cx^2+dx+a=0. Докажите, что b^2=d^2.
  8. Различные числа ab и c таковы, что уравнения x^2+ax+1=0 и x^2+bx+c=0 имеют общий корень. Кроме того, общий корень имеют уравнения x^2+x+a=0 и x^2+cx+b=0. Найдите сумму a+b+c.
  9. Докажите, что если коэффициенты ab и c уравнения ax^2+bx+c=0 связаны условием 2b^2-9ac=0, то отношение корней уравнения равно 2.
  10. Пусть x_1 и x_2 - корни уравнения x^2+px+q=0. Найдите p и q, если известно, что x_1+1 и x_2+1 являются корнями уравнения x^2-p^2x+pq=0.