Олимпиадные задачи по математике. Квадратный трехчлен

Математика

Докажите, что квадратное уравнение $(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0$ имеет корни только при $a=b=c$ .
Найдите, при каком значении $x$ функция $f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$ принимает наименьшее значение.
Докажите, что квадратное уравнение $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ имеет хотя бы один корень.
Найдите сумму корней всех квадратных трехчленов вида $x^2+px-2014$ , где $p$ принимает целые значения от -100 до 100 включительно.
Докажите, что графики квадратичных функций $y=x^2+px+q$ , у которых $p+\frac{q}{2}=2001$ , проходят через одну точку.
При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2-(a+10)x+10a+1=0$ являются целыми числами?
Корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ в 2007 раз больше корней квадратного уравнения $cx^2+dx+a=0$ . Докажите, что $b^2=d^2$ .
Различные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что уравнения $x^2+ax+1=0$ и $x^2+bx+c=0$ имеют общий корень. Кроме того, общий корень имеют уравнения $x^2+x+a=0$ и $x^2+cx+b=0$ . Найдите сумму $a+b+c$ .
Докажите, что если коэффициенты $a$ , $b$ и $c$ уравнения $ax^2+bx+c=0$ связаны условием $2b^2-9ac=0$ , то отношение корней уравнения равно 2.
Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения $x^2+px+q=0$ . Найдите $p$ и $q$ , если известно, что $x_1+1$ и $x_2+1$ являются корнями уравнения $x^2-p^2x+pq=0$ .

Добавить комментарий Отменить ответ