Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 3

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

геометрия

Задачи 101-150 

задачи 1-50,  задачи  51-100

  1. Через некоторую точку, взятую на стороне треугольника, проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на два треугольника и параллелограмм. Найдите площадь данного треугольника, если площади образовавшихся треугольников равны S_1 и S_2. ответ: \sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2
  2. Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами p_1 и p_2. Найдите периметр исходного треугольника. ответ: \sqrt{p_1^2+p_2^2}
  3. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус второй окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
  4. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей AC и BD равна 36, а угол CAD равен 60о. Отношение площадей треугольников AOD и BOC, где точка О - точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции. ответ: 90\sqrt{3}
  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. ответ: 2
  6. В треугольник, в котором две стороны равны a и b, вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол С. Найдите сторону ромба. ответ: ab/(a+b)
  7. Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 80, а острый угол равен 30о. Найдите площадь трапеции. ответ: 200
  8. В треугольник с периметром, равным 2p, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка касательной, концы которого принадлежат сторонам треугольника. ответ: p/4
  9. В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна h, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ: (h-r)^2/(2(h-2r))
  10. Периметр равнобедренного треугольника равен 32, основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найдите площадь треугольника. ответ: 48
  11. Через точку, которая делит гипотенузу в отношении 1 : 2, проведен перпендикуляр, который делит катет длиной 6 на два отрезка. Определите длину большего из этих отрезков, если длина гипотенузы равна 9. ответ: 9/2
  12. Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагональю трапеции и ее основанием равен 2. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
  13. Медианы АТ и ВМ треугольника АВС равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке К, причем угол АКВ равен 30о. Найдите площадь треугольника АВС. ответ: 18
  14. Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите длину касательной. ответ: 4
  15. В круге дана точка на расстоянии 15 от центра. Через эту точку проведена хорда, которая делится ею на отрезки 7 и 25. Найдите радиус круга. ответ: 20
  16. Площадь прямоугольного треугольника равна S, а площадь круга, вписанного в него, равна Q. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ: (\pi S-Q)^2/(4Q)
  17. Через некоторую точку внутри треугольника площадью S проведены прямые, параллельные двум его сторонам. Площади треугольников, отсекаемых этими сторонами, равны S_1 и S_2. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими прямыми и третьей стороной треугольника. ответ: (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}-\sqrt{S})^2
  18. Около круга, радиус которого равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 36. Найдите периметр треугольника. ответ: 80
  19. Площадь прямоугольного треугольника равна 54, а катеты относятся как 3 : 4. Определите площадь круга, описанного около треугольника. ответ: 56,25\pi
  20. Меньшее основание DC трапеции равно b, большее основание AB равно a. На продолжении меньшего основания найдите точку М такую, что прямая М разделяет трапецию на две равновеликие части. ответ: a(a-b)/(a+b)
  21. В равнобедренной трапеции отношение оснований равно 0,75, средняя линия  равна высоте и равна 7. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции. ответ: 10
  22. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на шесть частей, из которых три - треугольники с площадями S_1, S_2 и S_3. Найдите площадь исходного треугольника. ответ: (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2
  23. В окружности радиуса r проведены диаметр AB и хорда MP, которые не пересекаются. Прямые АМ и ВР пересекаются в точке С, лежащей вне круга, и AC равно a, BC равно b. Найдите MP. ответ: (a^2+b^2-qr^2)/(ab)
  24. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 4 больше одного и на 2 больше другого катета. Определите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ: 25\pi
  25. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найдите длину этой окружности. ответ: 10\pi/3
  26. В равнобедренную трапецию с тупым углом \alpha вписана окружность радиуса r. Найдите длину окружности, описанной около этой трапеции. ответ: (2\pi r\sqrt{1+\sin^2\alpha})/\sin^2\alpha
  27. На плоскости даны две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках O_1 и O_2, касающиеся некоторой прямой в точках M_1 и M_2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Известно, что O_1O_2 : M_1M_2 = \sqrt{5}/2. Найдите M_1M_2. ответ: 10
  28. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC длина боковой стороны AB равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны в точке M и стороны BE в точке H. Длина отрезка MH равна 1. Найдите угол BAD. ответ: 2\pi/3
  29. Прямая, параллельная основанию треугольника с площадью S, отсекает от него треугольник площадью S_1. Определите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника. ответ: \sqrt{SS_1}
  30. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если BA равно 30, DC равно 24, AD равно 3 и угол DAB равен \pi/3 ответ: 10\sqrt{3}
  31. Из точки А к окружности радиуса R проведена касательная АМ, где точка М - точка касания. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках К и Т, причем Т - середина отрезка АК. Найдите площадь треугольника АМК, если угол АМК равен 60о. ответ: 3\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)R^2/8
  32. В окружности радиуса 16 на расстоянии 2 от центра проведена хорда. В меньший из образовавшихся сегментов помещены две окружности одинакового радиуса так, что они касаются одна другой и каждая из них касается исходной окружности и проведенной хорды. Найдите радиус этих двух окружностей. ответ: 6
  33. Прямоугольный сектор с радиусом 8 разделен на две части дугой круга того же радиуса с центром в одном конце дуги сектора. Определите радиус круга, вписанного в большую из этих частей. ответ: 3
  34. Две окружности радиусами 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что CD равно 8 и В лежит между C и D. Найдите площадь треугольника ACD. ответ: 384/25
  35. Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит на отрезки, произведение длин которых равно площади данного треугольника.
  36. В ромб вписана окружность радиуса r. Три точки касания окружности со сторонами ромба соединены между собой. Найдите площадь получившегося треугольника, если большая диагональ ромба в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. ответ: r^2\sqrt{3}/2
  37. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. При этом расстояние от точки касания до центра второй окружности равно диаметру второй окружности. Найдите отношение площадей получившихся кругов. ответ: 9/4
  38. Диагональ прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне. Найдите длину средней линии трапеции, если ее высота равна 4, а боковая сторона равна 5. ответ: 9/2
  39. Дана прямоугольная трапеция с основаниями, равными 3 и 2, и меньшей боковой стороной, равной 1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее основания. ответ: 5/3
  40. На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC даны точки M, T и K такие, что четырехугольник KTMB - параллелограмм. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что площади треугольников AMT и KTC соответственно равны S_1 и S_2. ответ: 2\sqrt{S_1S_2}
  41. Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = AB / 3. Найдите площадь треугольника АВС, если АС равно 1. ответ: \sqrt{2}/3
  42. В треугольнике АВС угол В прямой. Точки D и E на катете СВ расположены так, что отрезки AD и AE делят угол А на три равные части. Найдите отношение площадей треугольников ADB и AEB, если AD равно a и AE равно b. ответ: (b+\sqrt{b^2+8a^2})/(2b)
  43. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр другого треугольника. ответ: 8
  44. В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна h, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ: (h-r)^2/(2(h-2r))
  45. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка M, а на стороне BC - точка N. Отрезки BM и AN пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника CMN, если площади треугольников AOM, AOB и BON равны соответственно S_1, S_2 и S_3 ответ: S_1S_3(S_2+S_1)(S_2+S_3)/(S_2(S_2^2-S_1S_3)
  46. В треугольник АВС вписана окружность радиуса R. Точка D лежит на дуге ВС, хорды AD и BC пересекаются в точке М. Найдите длину стороны BC, если угол BMD равен 120о, AB равно R и BM : MC = 2 : 3. ответ: 5R/\sqrt{7}
  47. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС длины 2 проведены медианы AM и CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности. ответ: \sqrt{5}/2
  48. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и BD равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3. ответ: 512/3
  49. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и T так, что AK = KT = TB. Найдите угол ABC, если CK = \sqrt{2} CT. ответ: arccos (\sqrt{2}/3)
  50. Найдите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен R, а площадь треугольника равна S. ответ: S/(R+\sqrt{R^2+S})