Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ
Задачи 101-150
- Через некоторую точку, взятую на стороне треугольника, проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на два треугольника и параллелограмм. Найдите площадь данного треугольника, если площади образовавшихся треугольников равны и . ответ:
- Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами и . Найдите периметр исходного треугольника. ответ:
- Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус второй окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
- В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей AC и BD равна 36, а угол CAD равен 60о. Отношение площадей треугольников AOD и BOC, где точка О - точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции. ответ:
- Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. ответ: 2
- В треугольник, в котором две стороны равны и , вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол С. Найдите сторону ромба. ответ:
- Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 80, а острый угол равен 30о. Найдите площадь трапеции. ответ: 200
- В треугольник с периметром, равным , вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка касательной, концы которого принадлежат сторонам треугольника. ответ:
- В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна , радиус вписанной окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ:
- Периметр равнобедренного треугольника равен 32, основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найдите площадь треугольника. ответ: 48
- Через точку, которая делит гипотенузу в отношении 1 : 2, проведен перпендикуляр, который делит катет длиной 6 на два отрезка. Определите длину большего из этих отрезков, если длина гипотенузы равна 9. ответ: 9/2
- Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагональю трапеции и ее основанием равен 2. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
- Медианы АТ и ВМ треугольника АВС равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке К, причем угол АКВ равен 30о. Найдите площадь треугольника АВС. ответ: 18
- Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите длину касательной. ответ: 4
- В круге дана точка на расстоянии 15 от центра. Через эту точку проведена хорда, которая делится ею на отрезки 7 и 25. Найдите радиус круга. ответ: 20
- Площадь прямоугольного треугольника равна , а площадь круга, вписанного в него, равна . Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ:
- Через некоторую точку внутри треугольника площадью проведены прямые, параллельные двум его сторонам. Площади треугольников, отсекаемых этими сторонами, равны и . Найдите площадь треугольника, ограниченного этими прямыми и третьей стороной треугольника. ответ:
- Около круга, радиус которого равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 36. Найдите периметр треугольника. ответ: 80
- Площадь прямоугольного треугольника равна 54, а катеты относятся как 3 : 4. Определите площадь круга, описанного около треугольника. ответ:
- Меньшее основание DC трапеции равно , большее основание AB равно . На продолжении меньшего основания найдите точку М такую, что прямая М разделяет трапецию на две равновеликие части. ответ:
- В равнобедренной трапеции отношение оснований равно 0,75, средняя линия равна высоте и равна 7. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции. ответ: 10
- Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на шесть частей, из которых три - треугольники с площадями , и . Найдите площадь исходного треугольника. ответ:
- В окружности радиуса проведены диаметр AB и хорда MP, которые не пересекаются. Прямые АМ и ВР пересекаются в точке С, лежащей вне круга, и AC равно , BC равно . Найдите MP. ответ:
- Гипотенуза прямоугольного треугольника на 4 больше одного и на 2 больше другого катета. Определите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ:
- Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найдите длину этой окружности. ответ:
- В равнобедренную трапецию с тупым углом вписана окружность радиуса . Найдите длину окружности, описанной около этой трапеции. ответ:
- На плоскости даны две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках и , касающиеся некоторой прямой в точках и и лежащие по одну сторону от этой прямой. Известно, что . Найдите . ответ: 10
- В трапеции ABCD с основаниями AD и BC длина боковой стороны AB равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны в точке M и стороны BE в точке H. Длина отрезка MH равна 1. Найдите угол BAD. ответ:
- Прямая, параллельная основанию треугольника с площадью , отсекает от него треугольник площадью . Определите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника. ответ:
- В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если BA равно 30, DC равно 24, AD равно 3 и угол DAB равен ответ:
- Из точки А к окружности радиуса проведена касательная АМ, где точка М - точка касания. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках К и Т, причем Т - середина отрезка АК. Найдите площадь треугольника АМК, если угол АМК равен 60о. ответ:
- В окружности радиуса 16 на расстоянии 2 от центра проведена хорда. В меньший из образовавшихся сегментов помещены две окружности одинакового радиуса так, что они касаются одна другой и каждая из них касается исходной окружности и проведенной хорды. Найдите радиус этих двух окружностей. ответ: 6
- Прямоугольный сектор с радиусом 8 разделен на две части дугой круга того же радиуса с центром в одном конце дуги сектора. Определите радиус круга, вписанного в большую из этих частей. ответ: 3
- Две окружности радиусами 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что CD равно 8 и В лежит между C и D. Найдите площадь треугольника ACD. ответ: 384/25
- Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит на отрезки, произведение длин которых равно площади данного треугольника.
- В ромб вписана окружность радиуса . Три точки касания окружности со сторонами ромба соединены между собой. Найдите площадь получившегося треугольника, если большая диагональ ромба в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. ответ:
- Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. При этом расстояние от точки касания до центра второй окружности равно диаметру второй окружности. Найдите отношение площадей получившихся кругов. ответ: 9/4
- Диагональ прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне. Найдите длину средней линии трапеции, если ее высота равна 4, а боковая сторона равна 5. ответ: 9/2
- Дана прямоугольная трапеция с основаниями, равными 3 и 2, и меньшей боковой стороной, равной 1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее основания. ответ: 5/3
- На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC даны точки M, T и K такие, что четырехугольник KTMB - параллелограмм. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что площади треугольников AMT и KTC соответственно равны и . ответ:
- Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = AB / 3. Найдите площадь треугольника АВС, если АС равно 1. ответ:
- В треугольнике АВС угол В прямой. Точки D и E на катете СВ расположены так, что отрезки AD и AE делят угол А на три равные части. Найдите отношение площадей треугольников ADB и AEB, если AD равно и AE равно . ответ:
- Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр другого треугольника. ответ: 8
- В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна , радиус вписанной окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ:
- В треугольнике АВС на стороне АС взята точка M, а на стороне BC - точка N. Отрезки BM и AN пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника CMN, если площади треугольников AOM, AOB и BON равны соответственно и ответ:
- В треугольник АВС вписана окружность радиуса . Точка D лежит на дуге ВС, хорды AD и BC пересекаются в точке М. Найдите длину стороны BC, если угол BMD равен 120о, AB равно и BM : MC = 2 : 3. ответ:
- В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС длины 2 проведены медианы AM и CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности. ответ:
- Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и BD равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3. ответ: 512/3
- На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и T так, что AK = KT = TB. Найдите угол ABC, если CK = CT. ответ: arccos
- Найдите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен , а площадь треугольника равна . ответ: